Aufgabe 1672
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Dicke einer Bleiplatte
In der Medizintechnik werden Röntgenstrahlen eingesetzt. Durch den Einbau von Bleiplatten in Schutzwanden sollen Personen vor diesen Strahlen geschützt werden. Man geht davon aus, dass pro 1 mm Dicke der Bleiplatte die Strahlungsintensität um 5 % abnimmt.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die notwendige Dicke x (in mm) einer Bleiplatte, wenn die Strahlungsintensität auf 10 % der ursprünglichen Strahlungsintensität, mit der die Strahlen auf die Bleiplatte auftreffen, gesenkt werden soll!
Lösungsweg
Wenn pro 1 mm Bleiplatte 5% von der Strahlung abgehalten werden, so bleiben nach einer 1mm Schicht noch 95% von der ursprünglichen Strahlung erhalten. In einer weiteren 1mm Bleiplatte werden von diesen 95% wieder 5% abgehalten, es bleiben somit von den 95% wieder 95% also 90,25% der ursprünglichen Strahlung erhalten, usw.
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis (die positiv und ungleich 1 ist ) und einem variablen Exponenten t. In diesem Beispiel ist die Basis 0,95 entsprechend 95% auf die der Wert der Strahlung nach 1mm Bleiplatte absinkt.
Wir können somit wie folgt anschreiben und die erforderliche Plattenstärke errechnen:
\(\begin{array}{l}
f(n) = {0,95^n} = 0,1\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right.\\
\ln \left( {0,95} \right) \cdot n = \ln \left( {0,1} \right)\\
n = \dfrac{{\ln \left( {0.1} \right)}}{{\ln \left( {0.95} \right)}} \approx 44,8906
\end{array}\)
→ Es ist eine Bleiplatte von 45mm erforderlich
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
Es ist eine Bleiplatte von 45mm erforderlich
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „mm“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [40 mm; 46 mm]