Aufgabe 1671
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktionen dritten Grades
Eine Polynomfunktion dritten Grades ändert an höchstens zwei Stellen ihr Monotonieverhalten.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades f, die an den Stellen x = –3 und x = 1 ihr Monotonieverhalten ändert!
Lösungsweg
Eine kubische Polynomfunktion hat 1, 2 oder 3 Nullstellen, sie hat 0 oder 2 Extremstellen und 1 Wendestelle. Der typische Graph verläuft s-förmig.
Laut Angabe soll der Graph der gesuchten Funktion sein Monotonieverhalten an 2 gegebenen Stellen ändern. D.h. der Graph muss sich einmal von steigend auf fallend und einmal von fallend auf steigend ändern. D.h. wiederum an den Stellen x=-3 bzw. x=1 muss je eine der beiden Extremstellen (Min, Max) liegen.
Mit diesen Infos ausgestattet skizzieren wir zuerst den Verlauf vom Graph im Bereich der Extremstellen (in der Grafik für die blau gezeichnete Funktion in schwarz hervorgehoben). Danach vervollständigen wir den Graph.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen richtigen Graphen, wobei die Extremstellen bei x = –3 und x = 1 klar als solche erkennbar sein müssen.