Aufgabe 1387
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktion
Von einer Exponentialfunktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = 25 \cdot {b^x}\,\,\,\,\,\left( {b \in {{\Bbb R}^ + };\,\,\,\,\,b \ne 0;\,\,\,\,\,b \ne 1} \right)\) ist folgende Eigenschaft bekannt: Wenn x um 1 erhöht wird, sinkt der Funktionswert auf 25 % des Ausgangswertes.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des Parameters b an!
b =
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Wir "übersetzen" die Angabe in eine Gleichung. Auf der linken Seite schreiben wir f(x) und an der rechten Seite schreiben wir \(4 \cdot f\left( {x + 1} \right)\). Der 4-er ergibt sich aus der Angabe, weil \(4 \cdot 25\% = 100\% \)
\(f\left( x \right) = 4 \cdot f\left( {x + 1} \right)\)
somit:
\(\eqalign{ & 25 \cdot {b^x} = 4 \cdot 25 \cdot {b^{x + 1}} \cr & 25 \cdot {b^x} = 100 \cdot {b^x} \cdot {b^1} \cr & 25 = 100 \cdot b \cr & b = \dfrac{{25}}{{100}} = 0,25 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(b = 0,25 = \dfrac{1}{4}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder Dezimalzahl) ist als richtig zu werten.