Aufgabe 1272
AHS - 1_272 & Lehrstoff: FA 5.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentieller Zusammenhang
Die Funktion f beschreibt eine exponentielle Änderung und ist durch zwei Wertepaare angegeben.
t | 2 | 4 |
f(t) | 400 | 100 |
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f !
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Exponentialfunktion
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cr & {\text{mit:}}c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + } \cr & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) = c.{a^x} \cdot \ln a \cr}\)
Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion, die keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten hat. Ihre Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion.
Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Euler'schen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte e-Funktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
Lösungsweg
Wir setzen jeder Wertepaar in die Definitionsgleichung \(f\left( t \right) = c \cdot {a^t}\) vom Typ Exponentialfunktion ein und erhalten so 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten c und a:
\(\eqalign{ & {\text{1}}{\text{. Wertepaar: }}f\left( {t = 2} \right) = c \cdot {a^2} = 400 \cr & {\text{2}}{\text{. Wertepaar: }}f\left( {t = 4} \right) = c \cdot {a^4} = 100 \cr} \)
Wir eliminieren die Variable c, indem wir die obere durch die untere Gleichung dividieren und errechnen so die 1. Variable a:
\(\eqalign{ & \frac{{c \cdot {a^2}}}{{c \cdot {a^4}}} = \frac{{400}}{{100}} \cr & \frac{1}{{{a^2}}} = 4 \cr & {a^2} = \dfrac{1}{4} \cr & a = \pm \sqrt {\dfrac{1}{4}} \to a = 0,5 \cr} \)
... die 2. Lösung \(a = - 0,5\) können wir wegen \(a \in {{\Bbb R}^ + }\) unberücksichtigt lassen...
Nun ist es einfach c auszurechnen:
\(\eqalign{ & c \cdot {0,5^2} = 400 \cr & c = \dfrac{{400}}{{0,25}} = 1600 \cr} \)
Da wir nun a und c kennen, können wir die gesuchte Exponetialfunktion anschreiben:
\(f\left( t \right) = 1600 \cdot {0,5^t}\)
Bei Exponentialfunktionen ist oft die Eulersche Zahl e die Basis. Wir rechnen die Basis 0,5 auf die Basis e wie folgt um:
\(\eqalign{ & \ln (0,5) = - 0,693 \cr & f\left( t \right) = 1600 \cdot {e^{ - 0,693 \cdot t}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( t \right) = 1600 \cdot {0,5^t}\) oder \(f\left( t \right) = 1600 \cdot {e^{ - 0,69 \cdot t}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe eines äquivalenten Terms.