Aufgabe 1269
AHS - 1_269 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parabel
Der Graph einer Polynomfunktion zweiten Grades mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) ist eine Parabel.
- Aussage 1: \(a < 0\)
- Aussage 2: \(a > 0\)
- Aussage 3: \(b = 0\)
- Aussage 4: \(b < 0\)
- Aussage 5: \(c = 0\)
Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten a, b und c jedenfalls erfüllen, damit die Parabel (so wie in der Skizze) nach unten offen ist und ihren Scheitel auf der y-Achse hat?
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Die Normparabel \({f\left( x \right) = {x^2}}\) ist nach oben offen und ihr Graph verläuft wegen \(f\left( {x = 0} \right) = 0\) durch den Ursprung vom Koordinatensystem.
- Damit die Parabel nach unten offen ist, was einer Spiegelung um die x-Achse entspricht, muss sie vom Typ \({f\left( x \right) = - {x^2}}\) sein. Also ist ihr a < 0
- Der Parameter b verschiebt die Parabel - bzw. deren Scheitelpunkt - sowohl in Richtung der x-Achse als auch in Richtung der y-Achse
- Der Parameter c verschiebt die Parabel ausschließlich in Richtung der pos. oder negativen y-Achse
Lösungsweg
Aus dem Graph der Parabel können wir folgende Schlussfolgerungen über die Parameter a, b und c ziehen:
- Die Parabel ist nach unten offen ⇒ a ist negativ: \(a < 0\)
- Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse, er ist also nicht in x UND y Richtung verschoben ⇒ \(b = 0\)
- Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der pos. y-Achse ⇒ \(c > 0\)
Somit können wir die 5 Aussagen auf ihre Richtigkeit überprüfen:
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil \(a < 0\) ist
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil \(b = 0\) ist
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil \(c > 0\) ist
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.