Aufgabe 1240
AHS - 1_240 & Lehrstoff: FA 1.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionsdarstellung einer Formel
Gegeben ist die Formel \(r = \dfrac{{2{s^2}t}}{u}\) für s, t, u > 0
- Aussage 1:
- Aussage 2:
- Aussage 3:
- Aussage 4:
- Aussage 5:
Aufgabenstellung
Wenn u und s konstant sind, dann kann r als eine Funktion in Abhängigkeit von t betrachtet werden. Kreuzen Sie denjenigen/diejenigen der unten dargestellten Funktionsgraphen an, der/die dann für die Funktion r möglich ist/sind!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Bei Funktionen unterscheidet man zwischen Variablen und Konstanten. Variablen sind veränderlich, während Konstante unveränderlich sind.
Lösungsweg
\(r = \dfrac{{2{s^2}t}}{u}\)
Da 2, u und s laut Angabe Konstante, also unveränderliche Werte sind, ist es zweckmäßig sie von der Variablen t, also dem veränderlichen Wert zu trennen, was wir im folgenden machen:
\(r\left( t \right) = \dfrac{{2{s^2}}}{u} \cdot t\)
Durch die Schreibweise r(t) haben wir zuglich hervorgehoben, dass r ausschließlich von der Variablen t abhängig ist. Da 2, s und u größer als null sind, können wir den Bruch durch eine Konstante k, die sicher positiv ist (k>0), wie folgt vereinfachen:
\(r\left( t \right) = k \cdot t + 0\)
Den Term "+0" schreiben wir nur zur Veranschaulichung an, da es keine additive Konstante in der gegebenen Funktion gibt. Wir erkennen sofort die Gleichung einer Geraden g: y=kx+d, die wegen k>0 einen positiven Anstieg hat und die wegen d=0 durch den Ursprung des Koordinatensystems verlaufen muss. Somit können wir die 5 Aussagen / Graphen überprüfen, ob sie der Geradengleichung genügen:
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil die Variable t linear und nicht exponentiell ist
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil das k in der Geradengleichung sicher positiv und nicht negativ ist
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil wir die Formel in eine Geradengleichung mit k>0 und d=0 umformen konnten
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil die Variable t linear und nicht exponentiell ist
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil das d in der Geradengleichung „0“ ist und nicht >0 ist
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau ein Funktionsgraph angekreuzt ist und das Kreuz richtig gesetzt ist.