Aufgabe 1383
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graph einer Ableitungsfunktion
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades, die den Wendepunkt W besitzt.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ in das Koordinatensystem!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Grafisches Differenzieren
f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse | |
f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse |
- Der Graph der Funktion weist einen typischen s-förmigen Verlauf aus, daher gehen wir von einer Funktion 3. Grades aus.
Die zugehörige Ableitungsfunktion muss daher eine Funktion 2. Grades sein. Ihr Graph ist eine Parabel. - Wir zeichnen den TP von f ein → An dieser Stelle muss f' eine NST haben.
- links vom TP sinkt f streng monoton. → f' muss unterhalb der x-Achse liegen
- Wir zeichnen den HP von f ein → An dieser Stelle muss f' eine NST haben
- rechts vom TP und linkes vom HP steigt f streng monoton → f' muss oberhalb der x-Achse liegen
- links vom HP sinkt f streng monoton. → f' muss unterhalb der x-Achse liegen
- An der Stelle wo f den WP hat → f' muss eine Extremstellen (einen HP) haben
Somit erhalten wir folgende Illustration:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Kriterien für die Richtigkeit des Graphen:
- Die Nullstellen von f ′ müssen bei den Extremstellen von f liegen und
- die x-Koordinate des Scheitels von f ′ bei der Wendestelle von f.
- Der Graph muss zumindest annähernd einer Parabel entsprechen.