Aufgabe 1182
AHS - 1_182 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktionen
Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Graphen von drei Funktionen f1, f2, f3 im Intervall [0; 160].
- Aussage 1: Die Funktionswerte von f1‘ sind im Intervall [0; 160] negativ.
- Aussage 2: Der Wert des Differenzialquotienten von f3 wächst im Intervall [0; 160] mit wachsendem x.
- Aussage 3: Die Funktion f2‘‘ hat im Intervall (0; 160) genau eine Nullstelle.
- Aussage 4: Die Funktionswerte von f3‘‘ sind im Intervall [0; 160] negativ.
- Aussage 5: Die Funktion f1‘ ist im Intervall [0; 160] streng monoton fallend.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Zusammenhang zwischen höherer Ableitungen (Auszug)
- f'(x) > 0 → f(x) streng monoton wachsend
- f'(x) < 0 → f(x) streng monoton sinkend
- WP(x0) → f''(x0) = 0
- f''(x0) < 0 → f(x) ist rechts bzw. negativ gekrümmt
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil die Funktion f(x) im Intervall [0; 160] streng monoton wachsend ist, muss deren 1- Ableitung - also f'(x) - im betrachteten Intervall positiv sein.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil der Differentialquotient der Steigung der Tangente an die Funktion bzw. der 1. Ableitung der Funktion entspricht. Die Steigung der Tangente - und somit der Differentialquotient hat an der Stelle x=0 ein Minimum und nimmt mit steigendem x zu.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil die Funktion f2 im Intervall [0; 160] ihre Krümmung von links auf rechts ändert muss f(x) dort einen WP haben. Wenn es aber einen WP gibt, dann muss an dieser Stelle f''(x) =0 sein, also muss f''(x) hier eine NST haben.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil f3(x) links bzw. positiv gekrümmt ist und daher f''(x) > 0 ist
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil die Funktion f1 an der Stelle x=0 die stärkste Steigung hat, muss bei x=0 die Steigung der Tangente bzw. f1' maximal sein. Mit zunehmenden x nimmt die Steigung der Tangente ab, sodass f1' streng monoton fallend sein muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.