Aufgabe 1688
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ungleichungen lösen
Gegeben sind zwei lineare Ungleichungen.
\(\eqalign{ & 7 \cdot x + 67 > - 17 \cr & - 25 - 4 \cdot x > 7 \cr} \)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Gesucht sind alle reellen Zahlen x, die beide Ungleichungen erfüllen. Geben Sie die Menge dieser Zahlen als Intervall an!
Lösungsweg
Wir lösen die erste Ungleichung:
\(\eqalign{ & 7 \cdot x + 67 > - 17\,\,\,\,\,\left| { - 67} \right. \cr & 7 \cdot x > - 84\,\,\,\,\,\left| {:7} \right. \cr & x > - \dfrac{{84}}{7} = - 12 \cr} \)
Wir lösen die zweite Ungleichung:
\(\eqalign{ & - 25 - 4 \cdot x > 7\,\,\,\,\,\left| { + 25} \right. \cr & - 4 \cdot x > 32\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 4} \right)} \right. \cr & x < - \dfrac{{32}}{4} = - 8 \cr} \)
Anmerkung zu Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens:
- Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt.
- Addition bzw. Subtraktion sowie Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
- Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
Bei der Division durch (-4) durch eine negative Zahl dividiert, weshalb das Ungleichheitszeichen umgedreht werden musste.
Wir erhalten somit die beiden Ungleichungen
\(x > - 12{\text{ und }}x < - 8\)
Da es sich bei den Ungleichheitszeichen um „größer“ bzw. „kleiner“ handelt, dürfen die Grenzen selbst nicht zum Lösungsintervall gehören. Es handelt sich also um ein „offenes“ Intervall.
\(x \in \left( { - 12; - 8} \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(x \in \left( { - 12; - 8} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Intervall. Andere Schreibweisen der Lösungsmenge wie etwa \(\left( { - 12; - 8} \right)\) sind ebenfalls als richtig zu werten. Bei Angabe eines halboffenen oder geschlossenen Intervalls ist der Punkt nicht zu geben.