Aufgabe 1662
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zahlen und Zahlenmengen
Nachstehend sind Aussagen über Zahlen und Zahlenmengen angeführt.
- Aussage 1: Es gibt mindestens eine Zahl, die in \(\mathbb{N}\) enthalten ist, nicht aber in ℤ.
- Aussage 2: \( - \sqrt 9 \) ist eine irrationale Zahl.
- Aussage 3: Die Zahl 3 ist ein Element der Menge \(\mathbb{Q}\).
- Aussage 4: \(\sqrt { - 2} \) ist in \(\mathbb{C}\) enthalten, nicht aber in \(\mathbb{R}\).
- Aussage 5: Die periodische Zahl \(1,\mathop 5\limits^ \bullet \) ist in \(\mathbb{R}\) enthalten, nicht aber in \(\mathbb{Q}\).
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Können wir die jeweilige Aussage mit den gegebenen Definitionen in Einklang bringen, so ist die Aussage als richtig zu werten. Finden wir allerdings ein einziges Gegenbeispiel, so ist die Aussage als falsch zu werten. Zudem gilt:
\({\Bbb N} \subset {\Bbb Z} \subset {\Bbb Q} \subset {\Bbb R} \subset {\Bbb C}\)
- Aussage 1: Falsch, weil alle positiven ganzen Zahlen \(\mathbb{N}\), in der Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\), vollständig enthalten sind.
- Aussage 2: Falsch, weil \( - \sqrt 9 = - \left( { \pm 3} \right)\) ist und das ist eine ganze Zahl
- Aussage 3: Richtig, weil 3 eine natürliche Zahl ist und die natürlichen Zahlen eine Untermenge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind. \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)
- Aussage 4: Richtig, weil der Wert unter der Wurzel eine negative Zahl ist, handelt es sich um eine komplexe Zahl. Die Menge der komplexen Zahlen ist aber eine Obermenge aller anderen Zahlenmengen
- Aussage 5: Falsch, weil eine Zahl mit unendlich vielen periodischen Dezimalstellen zur Menge der rationalen Zahl \(\mathbb{Q}\) und damit ebenso zur Obermenge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) gehört. \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.