Aufgabe 1514
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geradengleichung
Die Gerade g ist durch eine Parameterdarstellung \(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\) gegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie mögliche Werte der Parameter a und b so an, dass die durch die Gleichung \(a \cdot x + b \cdot y = 1\) gegebene Gerade h normal zur Geraden g ist!
Lösungsweg
\(\begin{array}{l} g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\\ h:a \cdot x + b \cdot y = 1 \end{array}\)
Anmerkung: Die Schreibweise der Geraden h nennt man die "Hauptform einer Geraden"
Die Gleichung der Geraden g setzt sich zusammen aus dem Punkt \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6 \end{array}} \right)\) und einem Richtungsvektor \(t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\)
Der Richtungsvektor \(t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\) von g ist zugleich der Normalvektor \(t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\)von h.
Nun gilt für jeden Vektor und somit natürlich auch für h: Die Koeffizienten der allgemeinen Form sind zugleich die Koordinaten des Normalvektors.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right) = t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\)
Womit: a = 3t und b = –5t mit t ∈ ℝ\{0} gelten muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} a = 3\\ b = - 5 \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für mögliche Werte der Parameter a und b,