Aufgabe 5688
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spielshow – Aufgabe B_574
Teil a
Ein Glücksrad ist in die Sektoren A, B, C, D und E unterteilt. In der Mitte des Glücksrads ist ein drehbarer Zeiger montiert, der im Rahmen einer Spielshow gedreht wird.
(Siehe nebenstehende Abbildung.)
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger des Glücksrads nach einer Drehung auf einen bestimmten Sektor zeigt, ist direkt proportional zum Winkel des jeweiligen Sektors.
- Zeigt der Zeiger auf den Sektor A, so werden 10 Punkte gewonnen.
- Zeigt der Zeiger auf den Sektor B, so werden 16 Punkte gewonnen.
- Zeigt der Zeiger auf den Sektor C, so werden 20 Punkte gewonnen.
- Zeigt der Zeiger auf den Sektor D, so werden 25 Punkte gewonnen.
- Zeigt der Zeiger auf den Sektor E, so werden 31 Punkte verloren.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl derjenigen Punkte, die nach einmaligem Drehen des Zeigers gewonnen bzw. verloren werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle durch Eintragen der fehlenden Wahrscheinlichkeiten.
Sektor | A | B | C | D | E |
Xi | 10 | 16 | 20 | 25 | -31 |
P(X=xi) |
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie den Erwartungswert von X im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir sollen die fehlenden Wahrscheinlichkeiten eintragen.
- Der Sektor A wird durch einen Winkel von 30° von insgesamt 360° des Vollkreises aufgespannt:
\(P\left( {X = 10} \right) = \dfrac{{30}}{{360}} \approx 0,083\) - Der Sektor B wird durch einen Winkel von 40° von insgesamt 360° des Vollkreises aufgespannt:
\(P\left( {X = 16} \right) = \dfrac{{40}}{{360}} \approx 0,111\) - Der Sektor C wird durch einen Winkel von 80° von insgesamt 360° des Vollkreises aufgespannt:
\(P\left( {X = 20} \right) = \dfrac{{80}}{{360}} \approx 0,222\) - Der Sektor D wird durch einen Winkel von 100° von insgesamt 360° des Vollkreises aufgespannt:
\(P\left( {X = 25} \right) = \dfrac{{100}}{{360}} \approx 0,277\) - Der Sektor E wird durch einen Winkel von (360°-30°-40°-80°-100°=)110° von insgesamt 360° des Vollkreises aufgespannt:
\(P\left( {X = - 31} \right) = \dfrac{{110}}{{360}} \approx 0,305\)
Somit können wir die Tabelle wie folgt vervollständigen:
Sektor | A | B | C | D | E |
Xi | 10 | 16 | 20 | 25 | -31 |
P(X=xi) | 0,083 | 0,111 | 0,222 | 0,277 | 0,305 |
2. Teilaufgabe
Wir benötigen den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen:
\(\eta = E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} \)
Wir setzen aus der Tabelle gemäß 1. Teilaufgabe wie folgt ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} E\left( X \right) = 10 \cdot \dfrac{{30}}{{360}} + 16 \cdot \dfrac{{40}}{{360}} + 20 \cdot \dfrac{{80}}{{360}} + 25 \cdot \dfrac{{100}}{{360}} + \left( { - 31} \right) \cdot \dfrac{{110}}{{360}} = \dfrac{{163}}{{36}} \approx 4,52777\\ E(X) = \dfrac{{163}}{{36}} \approx 4,52777 \end{array}\)
3. Teilaufgabe
→ Der Erwartungswert gibt an, dass im Mittel rund 4,5 Punkte pro Spiel gewonnen werden (wenn das Spiel sehr oft durchgeführt wird).
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Sektor | A | B | C | D | E |
Xi | 10 | 16 | 20 | 25 | -31 |
P(X=xi) | 0,083 | 0,111 | 0,222 | 0,277 | 0,305 |
2. Teilaufgabe
\(E(X) = \dfrac{{163}}{{36}} \approx 4,52777\)
3. Teilaufgabe
Der Erwartungswert gibt an, dass im Mittel rund 4,5 Punkte pro Spiel gewonnen werden (wenn das Spiel sehr oft durchgeführt wird).
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Tabelle.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Erwartungswerts.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.