Aufgabe 5687
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Biologieunterricht – Aufgabe B_573
Im Biologieunterricht werden verschiedene Tierarten und ihre Lebensweisen betrachtet.
Teil c
Mäuse vermehren sich unter bestimmten Bedingungen sehr schnell. Die Anzahl der Jungtiere, die in einer Generation geboren werden, kann näherungsweise durch das nachstehende rekursive Bildungsgesetz beschrieben werden.
\(\begin{array}{l}
{a_n} = {a_{n - 1}} \cdot 5\\
{a_1} = 20
\end{array}\)
- an ... Anzahl der Jungtiere in der n-ten Generation
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein explizites Bildungsgesetz für die Folge (an).
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, in der wievielten Generation erstmals 500 Jungtiere geboren werden.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
in Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“, wenn man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss. Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
Beim gegebenen rekursiven Bildungsgesetz handelt es sich um eine geometrische Zahlenfolge, die wie in die explizite Form
\(\begin{array}{l} {a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\\ q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} \end{array}\)
bringen sollen.
Zuerst ermitteln wir q, was direkt aus der Angabe möglich ist:
\(\begin{array}{l} {a_n} = {a_{n - 1}} \cdot 5\,\,\,\,\,\left| {{a_{n - 1}}} \right.\\ \dfrac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}} = 5 = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = q\\ q = 5 \end{array}\)
Anmerkung: In beiden Brüchen steht im Nenner das vorgehende Glied des Zählers.
Das nun noch erforderliche 1. Glied der geometrischen Zahlenfolge kennen wir aus der Angabe zu a1=20. Somit können wir das explizites Bildungsgesetz für die Folge (an) wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} {a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\\ {a_n} = 20 \cdot {5^{n - 1}} \end{array}\)
2. Teilaufgabe
Wir sollen berechnen, in der wievielten Generation erstmals 500 Jungtiere geboren werden. Wir sollen also das n bestimmen, damit an=500 wird. Wir setzen dazu in die Gleichung aus der 1. Teilaufgabe wie folgt ein und machen n explizit:
\(\begin{array}{l} {a_n} = 20 \cdot {5^{n - 1}}\\ \\ 500 = 20 \cdot {5^{n - 1}}\,\,\,\,\,\left| {:20} \right.\\ \dfrac{{500}}{{20}} = 25 = {5^{n - 1}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right.\\ \ln \left( {25} \right) = \ln \left( 5 \right) \cdot \left( {n - 1} \right)\\ n - 1 = \dfrac{{\ln \left( {25} \right)}}{{\ln \left( 5 \right)}} = 2\\ n = 2 + 1 = 3\\ \\ n = 3 \end{array}\)
Man kann das Beispiel natürlich auch numerisch im CAS von Geogebra lösen.
→ In der 3. Generation werden erstmals 500 Jungtiere geboren.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\({a_n} = 20 \cdot {5^{n - 1}}\)
2. Teilaufgabe
In der 3. Generation werden erstmals 500 Jungtiere geboren.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Erstellen des expliziten Bildungsgesetzes.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Generation.