Aufgabe 5684
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Piratenschiff – Aufgabe B_572
Piratenschiff ist ein Spiel im Turnunterricht. Für dieses Spiel wird ein Parcours mit Turngeräten als Hindernissen aufgebaut, in dem Fangen gespielt wird.
Teil c
Tim und Angela skizzieren einen Plan, um ihre Strategie beim Spiel Piratenschiff festzulegen (siehe nachstehende Abbildung).
Beide starten im Punkt S. Tim möchte vom Punkt S geradlinig zum Punkt K laufen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
\( \overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} ?\\ ? \end{array}} \right)\)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Länge des Vektors u.
[0 / 1 P.]
Angela folgt vom Punkt S aus dem Vektor
\(\overrightarrow w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 3 \end{array}} \right)\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Vektor w als Pfeil ausgehend vom Punkt S ein.
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren u und w.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Um von S nach K zu kommen, muss Tim eine Einheit in Richtung der x-Achse und 7 Einheiten in Richtung der y-Achse gehen, somit:
\(\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7 \end{array}} \right)\)
2. Teilaufgabe
Unter Verwendung vom Satz von Pythagoras erhalten wir:
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{u_x}^2 + {u_y}^2} = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = \sqrt {50} \approx 7,071\\ \left| {\overrightarrow u } \right| \approx 7,071\,{\rm{m}} \end{array}\)
→ Die Länge vom Vektor u beträgt ca 7,071m.
3. Teilaufgabe
Um von S aus dem Vektor w zu folgen, muss Anna 5 Einheiten in Richtung der x-Achse und 3 Einheiten in Richtung der y-Achse gehen, somit:
4. Teilaufgabe
Gesucht: Winkel zwischen den Vektoren u und w.
\(\begin{array}{l} \cos \varphi = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\\ \varphi = \arccos \left( {\dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 3 \end{array}} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {7^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {3^2}} }}} \right)\\ \varphi = \arccos \left( {\dfrac{{1 \cdot 5 + 7 \cdot 3}}{{\sqrt {{1^2} + {7^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {3^2}} }}} \right) \approx 50,91^\circ \\ \varphi \approx 50,91^\circ \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7 \end{array}} \right)\)
2. Teilaufgabe
Die Länge vom Vektor u beträgt ca 7,071m.
3. Teilaufgabe
4. Teilaufgabe
\(\varphi \approx 50,91^\circ \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahlen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge des Vektors u.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Vektors w.
4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Winkels.