Aufgabe 4088
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014
Teil c
In der Astronomie wird als Maß für die Entfernung r eines Sterns von der Erde der sogenannte Entfernungsmodul \(5 \cdot \lg \left( {\dfrac{r}{{10}}} \right)\) verwendet.
1. Teilaufgabe:
1Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der nicht dem Entfernungsmodul entspricht.
[1 aus 5]
[1 Punkt]
- Aussage 1: \( - 5 \cdot \lg \left( {\dfrac{{10}}{r}} \right)\)
- Aussage 2: \( - 5 + \lg \left( {{r^5}} \right)\)
- Aussage 3: \(\lg \left( {{{\left( {\dfrac{r}{{10}}} \right)}^5}} \right)\)
- Aussage 4: \(5 \cdot \lg \left( r \right) - \lg \left( {10} \right)\)
- Aussage 5: \(5 \cdot \left( {\lg \left( r \right) - 1} \right)\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Bei dieser Aufgabe geht es darum, den gegebenen Logarithmus-Ausdruck umzuformen. Wir erinnern uns, dass sich beim Rechnen mit Logarithmen der Grad der Rechnung um 1 reduziert. So wird aus einer Division eine Subtraktion: Gemäß \(\lg \dfrac{u}{v} = \lg \left( u \right) - \lg \left( v \right)\) gilt: \(5 \cdot \lg \dfrac{u}{v} = 5 \cdot \lg \left( u \right) - 5 \cdot \lg \left( v \right)\).
→ Somit ist bereits ersichtlich, dass Aussage 4 falsch sein muss, denn dort fehlt beim Subtrahend der Faktor 5.
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil wegen \(\lg \dfrac{u}{v} = - \lg \dfrac{v}{u}\) wie folgt gilt: \(5 \cdot \lg \left( {\dfrac{r}{{10}}} \right) = - 5 \cdot \lg \left( {\dfrac{{10}}{r}} \right)\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil man wie folgt umformen kann: \(5 \cdot \lg \left( {\dfrac{r}{{10}}} \right) = 5 \cdot lg\left( r \right) - 5 \cdot lg\left( {10} \right) = \lg \left( {{r^5}} \right) - 5 \cdot 1 = - 5 + \lg \left( {{r^5}} \right)\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil man sich beim Rechnen mit Logarithmen das Leben auch schwer machen kann indem man den Grad der Rechnung um 1 erhöht indem man aus einer Multiplikation eine Potenz macht indem man den Faktor 5 in den Logarithmus hinein holt: \(5 \cdot \lg \left( {\dfrac{r}{{10}}} \right) = \lg \left( {{{\left( {\dfrac{r}{{10}}} \right)}^5}} \right)\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil wie oben gesagt beim Subtrahend der Faktor 5 fehlt. Daher ist diese Aussage anzukreuzen.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil \(5 \cdot \lg \left( {\dfrac{r}{{10}}} \right) = 5 \cdot \left( {\lg \left( r \right) - \lg \left( {10} \right)} \right) = 5 \cdot \left( {\lg \left( r \right) - 1} \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × C: Für das richtige Ankreuzen (KA)