Aufgabe 4058

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Straßenbau - Aufgabe B_408

Teil c
Ein Straßenabschnitt soll an einem Berghang entlang führen. Der Querschnitt der geplanten Trasse ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Vieleck poly1 Vieleck poly1: Polygon K, L, M, I, H, C, J Bogen c Bogen c: Kreisbogen(C, D, E) Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke A, C Strecke h Strecke h: Strecke C, B Strecke i Strecke i: Strecke H, I Strecke j Strecke j: Strecke J, K Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke I, H Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke H, C Strecke c_1 Strecke c_1: Strecke C, J Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke J, K Vektor u Vektor u: Vektor(F, G) Vektor u Vektor u: Vektor(F, G) Vektor v Vektor v: Vektor(G, F) Vektor v Vektor v: Vektor(G, F) \alpha text1 = “\alpha” a text2 = “a” b text3 = “b” c text4 = “c” Berg text5 = “Berg”

Die Seite b ist 15 m und die Seite c ist 11,8 m lang. Der Winkel beträgt α = 116,6°.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Flächeninhalt des von a, b und c eingeschlossenen Dreiecks.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge der Seite a.
[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Die Fläche eines allgemeinen, nicht rechtwinkeligen Dreiecks errechnet man bei 2 gegebenen Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Winkel gemäß folgender Formel:
\(A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \left( {\angle ab} \right)\)

Wir setzen wie folgt ein und erhalten:
\(A = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 11,8 \cdot \sin \left( {116,6^\circ } \right) \approx 79,13\)

→ Der Flächeninhalt beträgt rund 79,13 m2.

2. Teilaufgabe:

Der Kosinussatz kann angewendet werden, wenn von einem nicht rechtwinkeligen Dreieck 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind und die 3. Seite berechnet werden soll:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( {\angle bc} \right)\)

Durch Einsetzen und Wurzelziehen erhalten wir:
\(\begin{array}{l} a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \\ \sqrt {{{15}^2} + {{11,8}^2} - 2 \cdot 15 \cdot 11,8 \cdot \cos \left( {116,6^\circ } \right)} \approx 22,86m \end{array}\)

 

→ Die Seite a ist rund 22,8 m lang.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe
Der Flächeninhalt beträgt rund 79,13 m2.

2. Teilaufgabe
Die Seite a ist rund 22,8 m lang.

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
1 × B1: für die richtige Berechnung des Flächeninhalts (KA)

2. Teilaufgabe
1 × B2: für die richtige Berechnung der Länge der Seite a (KA)