Aufgabe 4057

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Straßenbau - Aufgabe B_408

Teil b
Zwischen zwei Punkten C und D soll eine geradlinige Verbindungsstraße errichtet werden (siehe nachstehendes Koordinatensystem).

Punkt C C = (-40, 120) Punkt C C = (-40, 120) Punkt D D = (100, 20) Punkt D D = (100, 20) y in m text1 = “y in m” x in m text2 = “x in m” C Text1 = “C” D Text2 = “D”

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors \(\overrightarrow {CD} \)
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Betrag des Vektors \(\overrightarrow {CD} \)
[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe
Wir lesen die Koordinaten der beiden Punkte wir folgt aus der Illustration ab:
\(\eqalign{ & C\left( { - 40\left| {120} \right.} \right) \cr & D\left( {100\left| {20} \right.} \right) \cr} \)

Für den Vektor zwischen 2 Punkten gilt
\(\overrightarrow {CD} = D - C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_x} - {C_x}}\\ {{D_y} - {D_x}} \end{array}} \right)\)

wir setzen ein und erhalten:
\(\overrightarrow {CD} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {100 - \left( { - 40} \right)}\\ {20 - 120} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {140}\\ { - 100} \end{array}} \right)\)

Man kann das Resultat auch direkt aus der Grafik wie folgt ablesen:

Der gesuchte Vektor lautet somit:
\(\overrightarrow {CD} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {140}\\ { - 100} \end{array}} \right)\)

2. Teilaufgabe

Aus den Koordinaten des Vektors kann man wie folgt den Betrag bzw. die Länge des Vektors berechnen:
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{x_v}^2 + {y_v}^2} \)

Durch einstezen erhalten wir:
\(\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{140}^2} + {{\left( { - 100} \right)}^2}} = \sqrt {29600} \approx 172\)

 

→ Die gesuchte Länge des Vektors beträgt \( \approx 172\) m

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe
Der Vektor lautet: \(\overrightarrow {CD} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {140}\\ { - 100} \end{array}} \right)\)

2. Teilaufgabe
Der Betrag des Vektors: \(\left| {\overrightarrow {CD} } \right| \approx 172\) m

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Ermitteln der Koordinaten des Vektors (KA)

2. Teilaufgabe
1 × B: für die richtige Berechnung des Betrags des Vektors (KB)