Aufgabe 4052
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Seegrundstück - Aufgabe B_414
Teil c
Ein weiteres Angebot zur Rückzahlung des Kredits innerhalb von 10 Jahren kann mithilfe folgender Zeitachse dargestellt werden:
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie den Rückzahlungsvorgang des in der Zeitachse dargestellten Angebots in Worten.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie die Ratenhöhe R bei einem Zinssatz von 6 % p. a.
[2 Punkte]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Jeweils am Ende des ersten, des dritten und des vierten Jahres erfolgt eine Einmalzahlung in Höhe von € 100.000, € 80.000 bzw. € 110.000.
Ab dem fünften Jahr wird eine 6-mal zahlbare nachschüssige Jahresrate in Hohe von R vereinbart.
2. Teilaufgabe
Wir schreiben die wichtigsten Werte wir folgt zusammen:
- Barwert = Auszahlung = k0=865 000 €
- Zinssatz in % i=6%
- Aufzinsungsfaktor q=1+i=1,06
- n=4
Die Restschuld zum Zeitpunkt t = 4 Jahre, genauer gesagt der Endwert nach 4 Jahren von einem Barwert in Höhe von 865 000 € errechnet sich wie folgt:
\({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
Wir setzen ein:
\({K_4} = 865\,000 \cdot {1,06^4} = 1\,092\,042,57\mbox{€}\)
Dieser Betrag reduziert sich um die 3 geleisteten Zahlungen, die wir auf das Bezugsjahr, also das Ende vom 4. Jahr aufzinsen müssen
\(1\,092\,042,57 - \left( {100\,000 \cdot {{1,06}^3}} \right) - \left( {80\,000 \cdot {{1,06}^1}} \right) - \left( {110\,000} \right) = 778\,140,97\)
Die Restschuld nach 4 Jahren beträgt somit: 778 140,97 €
Es gilt nun eine nachschüssige Rate für die verbleibenden 6 Jahre zu finden, deren Barwert der Restschuld nach 4 Jahren entspricht:
\({B_{nachsch}} = R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} \cdot \dfrac{1}{{{q^n}}}\)
Wir setzen ein und lösen mittels Technologieeinsatz:
\(\begin{array}{l} 778\,140,97 = R \cdot \dfrac{{{{1,06}^6} - 1}}{{0,06}} \cdot \dfrac{1}{{{{1,06}^6}}}\\ R = 158\,244,79\mbox{€} \end{array}\)
→ Die Ratenhöhe ergibt sich zu R=158 244,79€
Geogebra
- Ansicht CAS
- Eingeben der Gleichung
- 8. Icon: Löst Gleichung näherungsweise
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Jeweils am Ende des ersten, des dritten und des vierten Jahres erfolgt eine Einmalzahlung in Höhe von € 100.000, € 80.000 bzw. € 110.000. Ab dem fünften Jahr wird eine 6-mal zahlbare nachschüssige Jahresrate in Hohe von R vereinbart.
2. Teilaufgabe:
Die Ratenhöhe beträgt 158.244,79 €.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × C: für die richtige Beschreibung des Rückzahlungsvorgangs (KA)
2. Teilaufgabe
1 × A: für einen richtigen Ansatz (KB)
1 × B: für die richtige Berechnung der Ratenhöhe (KB)