Aufgabe 4019
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
Teil d
Um die Unebenheit eines anderen Bodens zu ermitteln, soll der Punkt T bestimmt werden. Im Punkt T ist die Tangente an den Graphen von p parallel zur Geraden f (siehe nachstehende Skizze).
Es gilt:
\(\eqalign{ & p\left( x \right) = - 70,000 \cdot {x^4} + 150,000 \cdot {x^3} - 100,000 \cdot {x^2} + 17,000 \cdot x + 3,000 \cr & f\left( x \right) = - 4,046 \cdot x + 4,378 \cr} \)
mit:
| x | horizontale Koordinate in Metern (m) |
| p(x), f(x) | vertikale Koordinate in Millimetern (mm) |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung, mit der die x-Koordinate des Punktes T berechnet werden kann.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes T.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
- Da die Tangente T an p(x) parallel zur Geraden f(x) ist, muss sie die gleiche Steigung k haben. Die Steigung k können wir aber direkt aus der Geradengleichung zu k=-4,046 ablesen.
- Die 1. Ableitung von p entspricht aber auch der Steigung von p(x) für das jeweilige x. Daher können wir sagen, dass wie folgt gelten muss: \(p'\left( x \right) = k{\text{ bzw}}{\text{. }}p'\left( {{x_T}} \right) = - 4,046\)
Wir ermitteln also die 1. Ableitung p'(x) von p(x) und setzen diese -0,4046 gleich
\(\eqalign{ & p\left( x \right) = - 70,000 \cdot {x^4} + 150,000 \cdot {x^3} - 100,000 \cdot {x^2} + 17,000 \cdot x + 3,000 \cr & p'\left( x \right) = 4 \cdot \left( { - 70} \right) \cdot {x^3} + 3 \cdot 150 \cdot {x^2} + 2 \cdot \left( { - 100} \right) \cdot x + 17 \cr & p'\left( x \right) = - 280{x^3} + 450{x^2} - 200x + 17 \cr} \)
Nun setzen wir die 1. Ableitung \(p'\left( x \right)=-4,046\) gleich
\(\eqalign{ & p'\left( {{x_T}} \right) = - 280{x^3} + 450{x_T}^2 - 200{x_T} + 17 = - 4,046 \cr & p'\left( {{x_T}} \right) = - 280{x_T}^3 + 450{x_T}^2 - 200{x_T} = - 21,046 \cr} \)
2. Teilaufgabe
\(p'\left( {{x_T}} \right) = - 280{x_T}^3 + 450{x_T}^2 - 200{x_T} = - 21,046\)
Die Berechnung erfolgt mittels Technologieeinsatz:
\(\eqalign{ & - 280{x^3} + 450{x^2} - 200x = - 21,046 \cr & \left( {{x_1} = 0,152722} \right) \cr & {x_2} = {x_T} = 0,535712 \cr & \left( {{x_3} = 0,918708} \right) \cr} \)
Eine Gleichung 3. Grades hat natürlich 3 Lösungen. Die 1. und die 3. Lösung ist dort, wo die Messlatte am unebenen Boden aufliegt - und zwar in Form einer Tangente. Daher muss x2=xT=0,535712 die gesuchte Lösung sein.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(p'\left( {{x_T}} \right) = - 280{x_T}^3 + 450{x_T}^2 - 200{x_T} = - 21,046\)
2. Teilaufgabe
\({x_2} = {x_T} = 0,535712\)
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
1 × A: Für das richtige Erstellen der Gleichung zur Berechnung der x-Koordinate des Punktes T (KA)
2. Teilaufgabe
1 × B: Für die richtige Berechnung der x-Koordinate des Punktes T (KB)