Aufgabe 5667
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kaffeekapseln – Aufgabe A_325
Teil a
Der Kaffeevollautomat Divo kostet € 800. Die verwendeten Kaffeebohnen kosten 18 €/kg. Für eine Tasse Kaffee werden 10 g Kaffeebohnen benötigt. Die Kosten für x Tassen Kaffee setzen sich aus den Kosten für den Kaffeevollautomaten und den Kosten für die Kaffeebohnen zusammen und können durch die Funktion K1 beschrieben werden.
- x ... Anzahl der Tassen Kaffee
- K1(x) ... Kosten fur x Tassen Kaffee in Euro
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion K1 auf.
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In einem kleinen Büro wird die Kaffeemaschine Kapsello verwendet. Die Kosten für x Tassen Kaffee können durch die Funktion K2 beschrieben werden.
\({K_2}\left( x \right) = 0,38 \cdot x + 160\)
- x ... Anzahl der Tassen Kaffee
- K2(x) ... Kosten für x Tassen Kaffee in Euro
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie diejenige Anzahl an Tassen Kaffee, ab der die Verwendung des Kaffeevollautomaten
Divo günstiger als die Verwendung der Kaffeemaschine Kapsello wäre.
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Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die Kosten setzen sich aus den Fixkosten für die Anschaffung und die laufenden Kosten für die Kaffeebohnen zusammen
\({K_1} = {K_f} + {K_v}\left( x \right)\)
somit:
\({K_1} = 800 + x \cdot 0,18\)
2. Teilaufgabe
Wir setzen die beiden Kostenfunktionen gleich und berechnen so die Anzahl der Kapseln, bei der Anschaffung und Betrieb der beiden Maschinen gleich teuer sind:
\(\eqalign{
& {K_1} = 800 + x \cdot 0,18 \cr
& {K_2}\left( x \right) = 0,38 \cdot x + 160 \cr
& \cr
& 800 + x \cdot 0,18 = 0,38 \cdot x + 160\,\,\,\,\,\left| { - 160\,\,\,\left| { - 0,18 \cdot x} \right.} \right. \cr
& 640 = 0,2 \cdot x\,\,\,\,\,\left| {:0,56} \right. \cr
& x = \frac{{640}}{{0,2}} = 3200 \cr
& \cr
& x = 3200 \cr} \)
Bei 3.200 Kapseln sind Anschaffung und Betrieb der beiden Lösungen gleich teuer.
→ Ab 3.2001 Kapsel ist die Verwendung von Divio günstiger, da sich dann auswirkt, dass die laufenden Kosten mit 0,18 € niedriger sind als die 0,38 € von Kapsello.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\({K_1} = 800 + x \cdot 0,18\)
2. Teilaufgabe
Ab 3.2001 Kapsel ist die Verwendung von Divio günstiger.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Funktion K1.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Anzahl.