Aufgabe 4478
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Holzfeuchte und Holztrocknung - Aufgabe A_307
Teil a
Beim Trocknen verkürzen sich die Seitenlängen eines feuchten quaderförmigen Holzstücks.
a, b, c |
Seitenlängen des quaderförmigen Holzstücks in feuchtem Zustand |
In trockenem Zustand ist die Seitenlänge a um 0,5 %, die Seitenlänge b um 10 % und die Seitenlänge c um 5 % kürzer als in feuchtem Zustand.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens V des quaderförmigen Holzstücks in trockenem Zustand auf. Verwenden Sie dabei die Seitenlängen a, b und c.
V =
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, um wie viel Prozent das Volumen des quaderförmigen Holzstücks in trockenem Zustand kleiner als in feuchtem Zustand ist.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Volumen des Holzstücks im feuchten Zustand:
\({V_f} = a \cdot b \cdot c\)
Verkleinertes Volumen des Holzstücks im trocknen Zustand:
\(\eqalign{ & {\text{a: }}0,5\% \overset{\wedge}\to{=} 0,005 \to 1 - 0,005 = 0,995 \cr & {\text{b: }}10\% \overset{\wedge}\to{=} 0,1 \to 1 - 0,1 = 0,9 \cr & {\text{c: }}5\% \overset{\wedge}\to{=} 0,05 \to 1 - 0,05 = 0,95 \cr} \)
Somit:
\(\eqalign{ & {V_t} = \left( {0,995 \cdot a} \right) \cdot \left( {0,9 \cdot b} \right) \cdot \left( {0,95 \cdot c} \right) = \cr & = \left( {0,995 \cdot 0,9 \cdot 0,95} \right) \cdot \left( {a \cdot b \cdot c} \right) = \cr & = 0,850725 \cdot a \cdot b \cdot c \cr} \)
Vt = 0,850725 ∙ a ∙ b ∙ c
2. Teilaufgabe:
Die relative Änderung entspricht der absoluten Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Sie errechnet sich als der Quotient aus der absoluten Änderung und dem Grundwert. Die relative Änderung ist eine Dezimalzahl, die keine physikalische Einheit hat.
\(\begin{array}{l} {V_f} = a \cdot b \cdot c \buildrel \wedge \over = 100\% \\ {V_t} = 0,850725 \cdot a \cdot b \cdot c\\ \\ \dfrac{{\Delta V}}{{{V_f}}} = \dfrac{{{V_t} - {V_f}}}{{{V_f}}} = \\ = \dfrac{{0,850725 \cdot \left( {a \cdot b \cdot c} \right) - \left( {a \cdot b \cdot c} \right)}}{{\left( {a \cdot b \cdot d} \right)}} = \\ = \dfrac{{\left( {a \cdot b \cdot c} \right) \cdot \left( {0,850725 - 1} \right)}}{{\left( {a \cdot b \cdot c} \right)}} = \\ = 0,850725 - 1 = - 0,149275 \end{array}\)
→ Das Volumen des Holzstücks ist im trockenen Zustand um rund 14,9 % kleiner als im feuchten Zustand.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Vt = 0,850725 ∙ a ∙ b ∙ c
2. Teilaufgabe
Das Volumen des Holzstücks ist im trockenen Zustand um rund 14,9 % kleiner als im feuchten Zustand.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Prozentsatzes.