Aufgabe 4321
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gold - Aufgabe A_160
Das Edelmetall Gold gilt als besonders wertvoll, weil es selten vorkommt, leicht zu Schmuck verarbeitet werden kann und sehr beständig ist.
Teil a
Der World Gold Council, eine globale Lobby-Organisation der Goldminenindustrie, schätzt die bis zum Jahr 2012 weltweit geförderte Goldmenge auf rund 1,713 ∙ 108 Kilogramm (kg). Gold hat eine Dichte von 19,3 Gramm pro Kubikzentimeter (g/cm³). Die Masse ist das Produkt von Volumen und Dichte. Stellen Sie sich vor, dass die gesamte weltweit geförderte Goldmenge in einen Würfel gegossen wird.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Kantenlänge dieses Würfels in Metern.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Da die Masse in kg gegeben ist, bringen wir die Dichte auf kg/cm³. Aus der Angabe wissen wir, dass die Masse ist das Produkt von Volumen und Dichte. Daraus erhalten wir einen Term für das Volumen. Weiters wissen wir, dass die Seitenlänge s eines Würfels die dritte Wurzel aus dessen Volumen ist. Wir erhalten somit:
\(\begin{array}{l} m = V \cdot \rho \\ m = 1,713 \cdot {10^8} \cdot kg\\ \rho = 19,3 \cdot \dfrac{g}{{c{m^3}}} = 19,3 \cdot {10^{ - 3}} \cdot \dfrac{{kg}}{{c{m^3}}}\\ \\ V = \dfrac{m}{\rho }\\ \\ V = {s^3}\\ s = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{{\dfrac{m}{\rho }}}\\ \\ s = \sqrt[3]{{\dfrac{{1,713 \cdot {{10}^8} \cdot kg}}{{19,3 \cdot {{10}^{ - 3}} \cdot \dfrac{{kg}}{{c{m^3}}}}}}} = \\ = \sqrt[3]{{\dfrac{{1,713 \cdot {{10}^8}}}{{19,3 \cdot {{10}^{ - 3}}}} \cdot c{m^3}}} = \\ = \sqrt[3]{{\dfrac{{1,713}}{{19,3}} \cdot {{10}^{11}} \cdot c{m^3}}} \approx \\ \approx 2070,46 \cdot cm \approx 20,7046 \cdot m \end{array}\)
→ Die im Jahr 2012 weltweit geförderte Goldmenge würde in einen Würfel mit einer Kantenlänge von rund 20,7 m passen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die im Jahr 2012 weltweit geförderte Goldmenge würde in einen Würfel mit einer Kantenlänge von rund 20,7 m passen.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × B: für die richtige Berechnung der Kantenlänge in Metern