Aufgabe 4302
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutkreislauf - Aufgabe A_227
Blut versorgt die Organe des menschlichen Körpers mit Sauerstoff. Das Herz pumpt das Blut in einem Kreislaufsystem durch den Körper.
Teil b
Die Pumpleistung des Herzens (in Litern pro Minute) kann in Abhängigkeit vom Alter (in Jahren) annähernd durch eine lineare Funktion P beschrieben werden. Sie beträgt bei 20-jährigen Personen 5 Liter pro Minute und bei 70-jährigen Personen 2,5 Liter pro Minute.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von P auf.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Einer lineare Funktion entspricht eine Gleichung vom Typ: \(y = k \cdot x + d\) . Um die beiden Unbekannten k und d lösen zu können benötigen wir 2 Gleichungen. Diese können wir mit Hilfe der Angabe aufstellen und mittels Technologieeinsatzes wie folgt lösen:
\(\begin{array}{l} P\left( t \right) = k \cdot t + d\\ P(t = 20) = k \cdot 20 + d = 5\\ P(t = 70) = k \cdot 70 + d = 2,5\\ \\ 20k + d = 5\\ 70k + d = 2,5\\ \\ k \approx - 0,05\\ d \equiv 6\\ \\ P(t) \approx - 0,05 \cdot t + 6 \end{array}\)
Die Lösung des Gleichungssystems erfolgte mittels Technologieeinsatz:
Wolfram Alpha: 20k+d=5;70k+d=2.5;
2. Teilaufgabe:
Pro Lebensjahr nimmt die Pumpleistung des Herzens um 0,05 Liter pro Minute ab.
Nicht gefragt, aber berechnen wir mal wann das Herz gemäß dem gegenständlichen Modell überhaupt aufhört zu pumpen:
\(\begin{array}{l} P(t) = - 0,05 \cdot t + 6 = 0\\ 6 = 0,05 \cdot t\\ t = \dfrac{6}{{0,05}} = 120 \end{array}\)
Bei einer Abnahme der Pumpleistung um 0,05 l/min hört das Herz mit 120 Jahren mit dem Pumpen überhaupt auf.
Hier fällt uns der alte Kardiologenwitz ein: „Mach dir keine Sorgen um dein Herz: Es schlägt, solange du lebst“.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(P(t) \approx - 0,05 \cdot t + 6\)
2. Teilaufgabe:
Pro Lebensjahr nimmt die Pumpleistung des Herzens um 0,05 Liter pro Minute ab.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × C: für die richtige Interpretation des Wertes der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)