Aufgabe 1106
AHS - 1_106 & Lehrstoff: FA 5.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktionen vergleichen
Gegeben sind zwei Exponentialfunktionen f und h mit \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)und \(h\left( x \right) = c \cdot {d^x}{\text{ mit a}}{\text{,}}\,\,{\text{b}}{\text{,}}\,\,{\text{c}}{\text{,}}\,\,{\text{d}} \in \mathbb{R}\)
- Aussage 1: \(a > c\)
- Aussage 2: \(b > d\)
- Aussage 3: \(a < c\)
- Aussage 4: \(b < d\)
- Aussage 5: \(a = c\)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Aussagen über die Parameter a, b, c und d sind zutreffend? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
- Den Wert von a bzw. von c können wir wegen \(f\left( {x = 0} \right) = a \cdot {b^0} = a\) bzw wegen \(h\left( {x = 0} \right) = c \cdot {d^0} = c\) direkt an der y-Achse ablesen
- Die Graphen der beiden Exponentialfunktionen sind steigend, daher muss ihre Basis > 1 sein. Je höher der Wert der Basis, umso schneller steigt die Exponentialfunktion
An der y-Achse können wir direkt ablesen:
- a=1,5
- c=2
- ⇒ \(c > a\)
Die Exponentialfunktion f steigt stärker als h, daher muss deren Basis größer sein als die der Funktion h: \(b > d\)
Nun können wir die 5 Aussagen überprüfen:
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil \(c > a\) und nicht \(a > c\) gilt
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil \(b > d\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil \(c > a\) und somit \(a < c\) gilt
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil \(b > d\) und nicht \(b < d\) gilt
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil \(c > a\) und nicht \(a = c\) gilt
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.