Aufgabe 1008
AHS - 1_008 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktion und Stammfunktion
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f in die Abbildung ein!
Lösungsweg
Wir müssen die Regeln für das grafische Differenzieren anwenden und bedenken, dass wir in diesem Beispiel f gegeben haben und F zeichnen sollen. Wenn man obige Tabelle von links nach rechts liest, dann erhält man eine Aussage darüber, was man bei gegebener Funktion f für deren erste Ableitung f‘ schließen kann. In unserem Fall müssen wir die Tabelle aber von rechts nach links interpretieren, denn dann erhalten wir eine Aussage darüber, was man bei gegebener Funktion f über deren Stammfunktion F schließen kann
f | f' |
F | f |
f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST |
f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) |
f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse |
f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse |
f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse |
Wir können daher folgende Aussagen über den Verlauf der Stammfunktion machen:
- f(2)=0: Die Funktion f hat hier einen Tiefpunkt, daher muss F an dieser Stelle einen Wendepunkt haben
- Da der Tiefpunkt zusätzlich auf der x-Achse liegt, muss F an dieser Stelle nicht nur einen Wendepunkt, sondern sogar einen Sattelpunkt haben
- Sowohl links als auch rechts vom Tiefpunkt liegt f oberhalb der x-Achse, daher muss F sowohl im linken als auch im rechten Interfall streng monoton ansteigen.
- Wie weit oben oder unten F liegt kann man nicht sagen, da dies von der Integrationskonstante abhängt, über die wir hier keine Aussage treffen können
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt als richtig gelöst, wenn der Graph der Funktion F im gesamten dargestellten Bereich monoton wachsend dargestellt wird und an der Stelle 2 einen deutlich erkennbaren Sattelpunkt aufweist.