Aufgabe 1074
AHS - 1_074 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoren in einem Quader
Die Grundfläche ABCD des dargestellten Quaders liegt in der xy-Ebene. Festgelegt werden die Vektoren \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ;\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \overrightarrow {AD} ;{\text{ und }}\overrightarrow c = \overrightarrow {AE}\)
- Aussage 1: \(\overrightarrow {TC} = t \cdot \overrightarrow c\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow {AR} = t \cdot \overrightarrow a\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow {EG} = s \cdot \overrightarrow a + t \cdot \overrightarrow b\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow {BT} = s \cdot \overrightarrow a + t \cdot \overrightarrow b\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow {TR} = s \cdot \overrightarrow b + t \cdot \overrightarrow c\)
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Darstellungen ist/ sind möglich, wenn \(s,\,\,t \in \mathbb{R}\) gilt? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)
Lösungsweg
- In grüner Farbei: Wir zeichnen zunächst die Richtungsvektoren \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ;\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \overrightarrow {AD} ;{\text{ und }}\overrightarrow c = \overrightarrow {AE}\) ein.
- In blauer Farbe: Dann zeichnen wir, für jeder der 5 Aussagen, den jeweiligen Vektor ein
Unter Zuhilfenahme der Skizze untersuchen wir die 5 Aussagen ob sie wahr sind. s und t sind dabei Skalare die lediglich der Längenanpassung dienen. Da sie keine Vektoren sind, ändern sie nichts an der Richtung vom Vektor vor dem sie jeweils stehen.
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil der Vektor \(\overrightarrow {TC}\) räumlich parallel zum Richtungsvektor \(\overrightarrow c\) liegt.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil der Vektor \(\overrightarrow {AR}\) windschief im Raum steht und daher nicht parallel zum Richtungsvektor \(\overrightarrow a\) liegt
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil der Vektor \(\overrightarrow {EG}\) in einer parallelen Ebene zu jener Ebene liegt, die durch die Richtungsvektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\) aufgespannt wird
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil der Vektor \(\overrightarrow {BT}\) nicht in einer parallelen Ebene zu jener Ebene liegt, die durch die Richtungsvektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\) aufgespannt wird. \(\overrightarrow {BT}\) liegt nämlich in der Ebene von \(\overrightarrow c\) und \(\overrightarrow b\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil der Vektor \(\overrightarrow {TR}\) in einer parallelen Ebene zu jener Ebene liegt, die durch die Richtungsvektoren \(\overrightarrow b\) und \(\overrightarrow c\) aufgespannt wird
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.