Aufgabe 1002
AHS - 1_002 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichung 3. Grades
Gegeben ist die Gleichung \(4x \cdot \left( {{x^2} - 2x - 15} \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Lösungen dieser Gleichung an!
Lösungsweg
Gemäß dem „Fundamentalsatz der Algebra“ hat jede algebraische Gleichung n-ten Grades im Bereich der komplexen Zahlen genau n Lösungen, wenn man die Lösungen mit ihrer Vielfachheit zählt. Die gegebene Gleichung 3. Grades hat daher 3 Lösungen, die wir errechnen müssen.
Wir sehen, dass sich die Gleichung 3. Grades aus 2 Faktoren zusammen setzt: Da wäre einmal der Faktor \(4 \cdot x\) und dann wäre da noch der 2. Faktor, der Klammerausdruck \({x^2} - 2x - 15\) .
Im 1. Faktor: \(4 \cdot x\) steht x zur 1. Potenz, wir erhalten daher die 1. Lösung. Diese Lösung ist trivial: \(x = 0\)
Im 2. Faktor: \({x^2} - 2x - 15\) steht x zur 2. Potenz, wie erhalten daher 2 zusätzliche Lösungen, wenn wir untersuchen, wie dieser 2. Faktor zu 0 wird:
\({x^2} - 2x - 15 = 0\)
Es bietet sich die Lösung mittels der abc Formel (auch Mitternachtsformel genannt) an:
\(\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = 0\\ {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array}\)
mit a=1, b=-2 und c=-15 ergibt sich:
\(\begin{array}{l} {x_{2,3}} = \dfrac{{ - \left( { - 2} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4 \cdot 1.\left( { - 15} \right)} }}{{2 \cdot 1}} = \dfrac{{2 \pm \sqrt {4 + 60} }}{2} = \dfrac{{2 \pm \sqrt {64} }}{2} = \dfrac{{2 \pm 8}}{2}\\ {x_2} = \dfrac{{2 + 8}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\\ {x_3} = \dfrac{{2 - 8}}{2} = \dfrac{{ - 6}}{2} = - 3 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} {x_1} = 0\\ {x_2} = 5\\ {x_3} = - 3 \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn alle drei Lösungen der Gleichung angegeben sind.