Aufgabe 3093
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best of Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades – 2123. Aufgabe 2_123
Teil c
Gegeben ist eine Polynomfunktion g mit
\(g\left( x \right) = d \cdot {\left( {x + e} \right)^2} \cdot {\left( {x - e} \right)^2}{\text{ mit }}d \ne 0{\text{ und }}e \in {\Bbb R}\)
Der Graph von g verlauft durch den Punkt N = (2 | 0).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie unter diesen Voraussetzungen alle möglichen Werte von e.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Da der Graph von g(x) durch den Punkt N verläuft, muss der Punkt N die Funktionsgleichung g(x) erfüllen:
\(\eqalign{ & g\left( x \right) = d \cdot {\left( {x + e} \right)^2} \cdot {\left( {x - e} \right)^2} \cr & N = \left( {2\left| 0 \right.} \right) \cr & \cr & g\left( {x = 2} \right) = 0 \cr & g\left( x \right) = d \cdot {\left( {2 + e} \right)^2} \cdot {\left( {2 - e} \right)^2} = 0 \cr & \cr & d \ne 0 \to {\left( {2 + e} \right)^2} \cdot {\left( {2 - e} \right)^2} = 0 \cr} \)
Es handelt sich um ein Produkt aus 3 Faktoren, wobei der 1. Faktor, nämlich d, nicht Null werden darf. Wir betrachten daher nur mehr die beiden verbleibenden Faktoren
Wir erinnern uns an den Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist dann null, wenn zumindest einer der beiden Faktoren null ist.
- Der 2. Faktor bzw. 1. Klammerausdruck wird null, wenn e=-2 gilt.
- Der 3. Faktor bzw. 2. Klammerausdruck wird null, wenn e=2 gilt.
Die beiden möglichen Werte für e lauten \(e = \pm 2\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die beiden möglichen Werte für e lauten \(e = \pm 2\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln aller möglichen Werte von e.