Aufgabe 3058
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Weltbevölkerung
In der nachstehenden Tabelle ist für bestimmte Kalenderjahre die Schätzung der Weltbevölkerung (jeweils zur Jahresmitte) angegeben.
Kalenderjahr | Weltbevölkerung in Milliarden |
1970 | 3,700 |
1990 | 5,327 |
2000 | 6,140 |
2010 | 6,975 |
2020 | 7,790 |
Datenquellen: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1694/umfrage/entwicklung…,
https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…
[17.05.2020].
Teil b
Ab 1970 kann die Entwicklung der Weltbevölkerung näherungsweise durch eine lineare Funktion f beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe der Werte für die Weltbevölkerung der Kalenderjahre 1970 und 2000 eine Funktionsgleichung von f in Abhängigkeit von der Zeit t auf (t in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1970, f(t) in Milliarden).
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der mithilfe von f ermittelte Wert für das Kalenderjahr 2020 vom in der obigen Tabelle angegebenen Wert abweicht. [0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Aus der Tabelle entnehmen wir:
- 1970: 3,700
- 2000: 6,140
- T=2000-1970=30
Gemäß Angabe setzen wir eine lineare Funktion an und bestimmen k und d wie folgt:
\(f\left( t \right) = k \cdot t + d\)
Mit:
\(\eqalign{
& k = \dfrac{{6,140 - 3,700}}{{2000 - 1970}} = \dfrac{{2,44}}{{30}} \approx 0,081333 \cr
& d = f\left( 0 \right) = f\left( {t = 1970} \right) = 3,7 \cr
& \cr
& f\left( t \right) \approx 0,081333 \cdot t + 3,7 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Aus der Tabelle entnehmen wir:
- 2020: 7,790
- 2020-1970=50 → t=50
f(t) keinen wir aus der 1. Teilaufgabe:
\(\eqalign{
& f\left( t \right) \approx 0,081333 \cdot t + 3,7 \cr
& f\left( {t = 50} \right) \approx 0,081333 \cdot 50 + 3,7 \approx 7,7666 \cr} \)
Die prozentuelle Änderung ist die absolute Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Der Grundwert ist zugleich der 100% Wert, also in dieser Aufgabe, der Wert aus der Tabelle.
\(\dfrac{{7,7666 - 7,790}}{{7,790}} \approx - 0,0029\)
→ Die Abweichung beträgt ca -0,3%
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(f\left( t \right) \approx 0,081333 \cdot t + 3,7\)
2. Teilaufgabe
Die Abweichung beträgt ca -0,3%
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von f.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Abweichung in %. Auch die Angabe von 0,3 % ist richtig.