Aufgabe 1659
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Anzahl an Möglichkeiten
Eine Mannschaft besteht aus n Spielerinnen. Aus diesen wählt die Trainerin an einem Tag sechs Spielerinnen, an einem anderen Tag acht Spielerinnen aus, wobei es auf die Reihenfolge der Auswahl der Spielerinnen jeweils nicht ankommt. In beiden Fällen ist die Anzahl der Möglichkeiten, die Auswahl zu treffen, gleich groß.
Aufgabenstellung:
Geben Sie n (die Anzahl der Spielerinnen dieser Mannschaft) an!
n=___
Lösungsweg
Der Binomialkoeffizient „n über k“ besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen, wobei es auf die Reihenfolge der Auswahl nicht ankommt.
Für den Binomialkoeffizienten gilt ganz allgemein:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot \left( {n - k} \right)!}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{n - k}
\end{array}} \right)\)
Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten, also der Binomialkoeffizient, ist an beiden Tagen gleich groß, daher kann man wie folgt formulieren:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
6
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
8
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{n - k}
\end{array}} \right)\)
\(\eqalign{
& {\text{linke Gl}}{\text{.: }}k = 6 \cr
& {\text{rechte Gl}}{\text{.: n - k = }}n - 6 = 8 \to n = 8 + 6 = 14 \cr
& n = 14 \cr
& \cr
& {\text{Probe:}} \cr} \)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}\\
6
\end{array}} \right) = 3003 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}\\
8
\end{array}} \right)\)
Die Probe besagt, dass es jeweils 3003 Möglichkeiten gibt, 6 bzw. 8 Spielerinnen aus insgesamt 14 Spielerinnen auszuwählen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
n=14
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.