Aufgabe 1545
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Jugendgruppe
Eine Jugendgruppe besteht aus 21 Jugendlichen. Für ein Spiel sollen Teams gebildet werden.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {21}\\ 3 \end{array}} \right)\) gibt an, _____1______ ; Sein Wert beträgt_____ 2_____ .
1:
- Aussage 1: wie viele der 21 Jugendlichen in einem Team sind, wenn man drei gleich große Teams bildet
- Aussage 2: wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus den 21 Jugendlichen ein Dreierteam auszuwählen
- Aussage 3: auf wie viele Arten drei unterschiedliche Aufgaben auf drei Mitglieder der Jugendgruppe aufgeteilt werden können
2:
Wert 1 | 7 |
Wert 2 | 1330 |
Wert 3 | 7980 |
Lösungsweg
- Der Binomialkoeffizient „21 über 3“ oder "k aus n" besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen. Auf die gegenständliche Aufgabenstellung umgelegt bedeutet dies, wie viele Dreierteams aus insgesamt 21 Jugendlichen aufgestellt werden können ⇒ Aussage 2
- Die Berechnung kann entweder direkt am Taschenrechner erfolgen, oder man setzt in die Formel für den Binomialkoeffizienten wie folgt ein: \(\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot \left( {n - k} \right)!}}\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {21}\\ 3 \end{array}} \right) = \dfrac{{21!}}{{3! \cdot \left( {21 - 3} \right)!}} = \dfrac{{21!}}{{3! \cdot 18!}} = 1330 \end{array}\)⇒ Wert 2
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {21}\\ 3 \end{array}} \right)\) gibt an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus den 21 Jugendlichen ein Dreierteam auszuwählen ; Sein Wert beträgt 1330.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.