Aufgabe 1290
AHS - 1_290 & Lehrstoff: WS 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Betrachtet wird der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ x \end{array}} \right)\)mit \(x \in {\Bbb N}\).
Aufgabenstellung:
Geben Sie alle Werte für \(x \in {\Bbb N}\) an, für die der gegebene Binomialkoeffizient den Wert 1 annimmt!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Der Binomialkoeffizient „n über k“ oder "k aus n" besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen, wobei die Reihenfolge in der die ausgewählten Elemente erscheinen bzw. gezogen werden egal ist.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}} = \dfrac{{n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot \left( {n - 2} \right) \cdot ... \cdot \left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\)
Lösungsweg
Wir sollen x Elemente (üblich ist die Bezeichnung k statt x) aus 20 möglichen Elementen (üblich ist die Bezeichnung n=20) ziehen, sodass der Binomialkoeffizient 1 wird. Dafür gibt es genau 2 Möglichkeiten:
- x = 0 (bzw. k=0), weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
0
\end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{0! \cdot \left( {n - 0} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{1 \cdot n!}} = 1\) → Es gibt genau 1 Möglichkeit 0 Richtige aus 20 Möglichen zu ziehen, indem man 0-mal zieht - x = n = 20 (bzw. k=n), weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
n
\end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{n! \cdot \left( {n - n} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{n! \cdot 1}} = 1\) → Es gibt genau 1 Möglichkeit 20 Richtige aus 20 Möglichen zu ziehen, indem man alle 20 Zahlen zieht. Bedenke: Die Reihenfolge in der die Zahlen gezogen werden, ist ja egal!
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({x_1} = 0;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 20\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn beide richtigen Werte angegeben sind.