Aufgabe 1740
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gewinnfunktion
Die unten stehende Abbildung zeigt eine lineare Kostenfunktion \(K:x \to K\left( x \right)\) une eine lineare Erlösfunktion \(E:x \to E\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left[ {0;6} \right]\)
Für die Gewinnfunktion \(G:x \to G\left( x \right)\) gilt für alle \(x \in \left[ {0;6} \right]:\,\,\,\,\,G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)
Aufgabenstellung
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen von G ein. [0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Die Gleichung \(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\) besagt, dass sich der Gewinn aus dem Erlös ("Einnahmen") minus den Kosten ("Ausgaben") errechnet.
Grafische Lösung:
- Wenn man von den linearen Funktionswerten vom Erlös die linearen Funktionswerte von den Kosten abzieht erhält man die lineare Funktion vom Gewinn
- Für eine linearen Funktion benötigen wir 2 Punkte. Wir wählen natürlich besonders einfache Punkte
- x=0: G(x=0)=0-3=-3 → \({P_1}\left( {0\left| { - 3} \right.} \right)\)
- x=5: G(x=5)=6-6=0 → \({P_2}\left( {5\left| 0 \right.} \right)\)
Rechnerische Lösung:
- \(E\left( x \right) = kx + d\) mit \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{6}{5}\) und \(d = E\left( {x = 0} \right) = 0\) → \(E\left( x \right) = \dfrac{6}{5}x\)
- \(K\left( x \right) = kx + d\) mit \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{5}\) und \(d = K\left( {x = 0} \right) = 3\) → \(K\left( x \right) = \dfrac{3}{5}x + 3\)
- \(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right) = \dfrac{6}{5}x - \left[ {\dfrac{3}{5}x + 3} \right] = \dfrac{3}{5}x - 3\)
Zeichnet man obige Lösungen ein, so erhält man folgende Illustration:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Darstellung des Graphen der Funktion G, wobei G eine lineare Funktion sein muss, deren Graph durch die beiden Punkte (0 | –3) und (5 | 0) verläuft.