Aufgabe 1644
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grafisches Lösen einer quadratischen Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung
\({x^2} + x - 2 = 0\)
Man kann die gegebene Gleichung geometrisch mithilfe der Graphen zweier Funktionen f und g lösen, indem man die Gleichung f(x) = g(x) betrachtet.
Aufgabenstellung:
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der quadratischen Funktion f, wobei gilt: f(x) ∈ ℤ für jedes x ∈ ℤ. Zeichnen Sie in dieser Abbildung den Graphen der Funktion g ein!
Lösungsweg
Wenn man eine quadratische Gleichung lösen soll, dann muss man ihre Nullstellen bestimmen. Laut Aufgabenstellung gibt es 2 Funktionen f(x) und g(x), wobei wir den Graph von f(x) kennen. Die Nullstellen der gegebenen quadratischen Gleichung sollen die Schnittpunkte der Gleichung f(x)=g(x) sein.
Wir bestimmen zuerst die Nullstellen der gegebenen quadratischen Gleichung:
\(\eqalign{ & {x^2} + x - 2 = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4 \cdot a \cdot c} }}{{2 \cdot a}} \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {{1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2} \right)} }}{{2 \cdot 1}} = \dfrac{{ - 1 \pm 3}}{2} \cr & {x_1} = 1 \cr & {x_2} = - 2 \cr} \)
Nun zeichnen wir am Graph von f jene 2 (Schnitt-)Punkte ein die f(x) und g(x) gemeinsam haben. Sie ergeben sich gemäß
\(\eqalign{ & f\left( {{x_1}} \right) \cap g\left( {{x_1}} \right) = {S_1} = \left( {{x_1}\left| {f\left( {{x_1}} \right)} \right.} \right) = \left( {1\left| 1 \right.} \right) \cr & f\left( {{x_2}} \right) \cap g\left( {{x_2}} \right) = {S_2} = \left( {{x_2}\left| {f\left( {{x_2}} \right)} \right.} \right) = \left( { - 2\left| 4 \right.} \right) \cr} \)
Durch die beiden Schnittpunkte zeichnen wir den Graph der gesuchten Funktion. Die einzige Funktion die durch 2 Punkte exakt definierbar ist, ist eine lineare Funktion. Wir zeichnen daher eine fallende Gerade - in der Illustration in grün - ein.
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
- Blau: Die gegebene Funktion f(x)
- Grün: Die gesuchte Funktion g(x)
- Rot: der Graph der gegebenen quadratischen Funktion
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Ergänzung eines korrekten Graphen von g.