Aufgabe 1575
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktion
Von einer Exponentialfunktion f sind die folgenden Funktionswerte bekannt
\(\eqalign{ & f\left( 0 \right) = 12 \cr & f\left( 4 \right) = 192 \cr} \)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Funktionsgleichung der Exponentialfunktion f an!
f(x)=
Lösungsweg
Wir setzen jeder Wertepaar in die Definitionsgleichung \(f\left( t \right) = c \cdot {a^t}\) vom Typ Exponentialfunktion ein und erhalten so 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten c und a:
\(\eqalign{ & {\text{1}}{\text{. Wertepaar: }}f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = 12 \to c \cdot 1 = 12 \to c = 12 \cr & {\text{2}}{\text{. Wertepaar:}}{\text{ }}f\left( {x = 4} \right) = 12 \cdot {a^4} = 192 \to {a^4} = \dfrac{{192}}{{12}} \to a = \pm \root 4 \of {16} = \pm 2 \cr} \)
... die 2. Lösung \(a = - 2\) können wir wegen \(a \in {{\Bbb R}^ + }\) unberücksichtigt lassen...
Somit können wir die gesuchte Exponentialfunktion wie folgt anschreiben:
\(f\left( x \right) = 12 \cdot {2^x}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( x \right) = 12 \cdot {2^x}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.