Aufgabe 1532
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f mit \(f(x) = {x^{\dfrac{1}{2}}} + b\) und \((a,b \in {\Bbb R},a \ne 0)\) dargestellt. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte von a und b an!
Lösungsweg
Um die Werte der Variablen a und b zu bestimmen, müssen wir Punkte in die Funktion einsetzen und auswerten. Diese Auswertungen liefern uns schließlich 2 Gleichungen mit 2 Variablen, welche wir dann lösen müssen. Grundsätzlich könnten wir beliebige Werte aus dem Graphen ablesen. Es empfiehlt sich jedoch die Punkte P(0|2) und Q(1|3) zu verwenden, da deren Koordinaten ganzzahlig sind.
\(f(x) = a \cdot {x^{\dfrac{1}{2}}} + b\)
- Einsetzen des Punktes P(0|2) liefert: \(2 = f(x = 0) = a \cdot {0^{\frac{1}{2}}} + b = b\,\, \Rightarrow \,\,b = 2\)
- Einsetzen des Punktes Q(1|3) liefert : \(3 = f(x = 1) = a \cdot {1^{\frac{1}{2}}} + 2 = a + 2\,\, \Rightarrow \,\,a = 1\)
Somit: a=1, b=2
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- a= 1
- b= 2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekten Werte von a und b.