Aufgabe 1435
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktion
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\) mit \(a,\,\,b \in {R^ + }\) durch die Punkte \(P = \left( {0\left| {25} \right.} \right)\)und \(Q = \left( {1\left| {20} \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Funktionsgleichung der dargestellten Exponentialfunktion f an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Exponentialfunktion
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cr & {\text{mit:}}c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + } \cr & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) = c.{a^x} \cdot \ln a \cr}\)
Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion, die keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten hat. Ihre Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion.
Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Euler'schen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte e-Funktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
Lösungsweg
\(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
Wir setzen die beiden gegebenen Punkte in die Gleichung der Exponentialfunktion ein und können so mit Hilfe der beiden Gleichungen die beiden Variablen a und b berechnen:
\(\eqalign{ & P(0\left| {25:\,\,\,\,\,} \right.f\left( {x = 0} \right) = a \cdot {b^0} = 25 \to a = 25 \cr & Q\left( {1\left| {20} \right.} \right):\,\,\,\,\,f(x = 1) = 25 \cdot {b^1} = 20 \to b = \dfrac{{20}}{{25}} = 0,8 \cr} \)
Da wir nun a und b kennen, können wir die gesuchte Exponentialfunktion anschreiben:
\(f\left( x \right) = 25 \cdot {0,8^x}\)
Bei Exponentialfunktionen ist oft die Eulersche Zahl e die Basis. Wir rechnen die Basis 0,5 auf die Basis e wie folgt um:
\(\eqalign{ & \ln \left( {0,8} \right) = - 0,223 \cr & f\left( x \right) = 25 \cdot {e^{ - 0,223x}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 25 \cdot {0,8^x} \cr & f\left( x \right) = 25 \cdot {e^{ - 0,223x}} \cr} \)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall für ln(0,8): [–0,23; –0,22]
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.