Aufgabe 1287
AHS - 1_287 & Lehrstoff: FA 1.9
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften von Funktionen
Es sind vier Funktionen f1, f2, f3, f4 durch ihre Gleichungen gegeben.
A | Der Graph der Funktion hat genau ein lokales Maximum (einen Hochpunkt). |
B | Die Funktion besitzt keine Nullstelle und ist stets streng monoton wachsend. |
C | Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur 2. Achse. |
D | Die Funktion hat genau eine Wendestelle. |
E | Der Graph der Funktion f geht durch (0|0). |
F | Mit wachsenden x-Werten nähert sich der Graph der Funktion der x-Achse. |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils die entsprechende Aussage (aus A bis F) zu!
Deine Auswahl | |
\({f_1}\left( x \right) = 2 \cdot {x^3} + 1\) | |
\({f_2}\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) | |
\({f_3}\left( x \right) = {e^x}\) | |
\({f_4}\left( x \right) = {e^{ - x}}\) |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir analysieren für jede der 4 Funktionen welche der Aussage A .. F zutreffen könnte.
Anmerkung: Die Funktion \({e^x}\) ist die "Euler'sche Funktion", jene spezielle Exponentialfunktion (x in der Potenz) deren Basis e - die euler'sche Zahl - ist.
Zur besseren Veranschaulichung hier eine Illustration mit dem Graph der 4 Funktionen.
Lösungsweg
- \({f_1}\left( x \right) = 2 \cdot {x^3} + 1\)
- A: Nicht zutreffend, da die Funktion gegen unendlich strebt
- B: Nicht zutreffend, da die Funktion an der Stelle \(x = - \frac{1}{{\root 3 \of 2 }}\) eine relle NST hat.
- C: Nicht zutreffen, da die Funktion nur einen Ast hat und somit keine Symmetrie möglich ist
- D: Richtig, da bei Polynomfunktionen die Anzahl der Wendestellen gleich dem Grad der Funktion minus 2 ist. In unserem Fall gibt es also 3-2=1 Wendestelle
- \({f_2}\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
- A: Nicht zutreffend, da die Sinusfunktion mit \(2\pi\) periodisch ist
- B: Nicht zutreffend, da die Sinusfunktion zwar Nullstellen haben kann (aber nicht haben muss), aber ganz sicher nicht streng monototn wachsend ist
- C: Nicht zutreffend, da die Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
- D: Nicht zutreffend, da die Sinusfunktion mit \(2\pi\) periodisch ist
- E: Richtig, da sin(x=0)=0
- \({f_3}\left( x \right) = {e^x}\)
- A: Nicht zutreffend, da die Euler'sche Funktion gegen unendlich strebt
- B: Richtig, weil die Euler'sche Funktion immer oberhalb der x-Achse verläuft und streng monoton wachsend ist
- \({f_4}\left( x \right) = {e^{ - x}}\)
- A: Nicht zutreffend, da die Exponetialfunktion gegen unendlich strebt
- B: Nicht zutreffend, da die Exponetialfunktion streng monoton fallend ist
- C: Nicht zutreffend, da die Exponetialfunktion nur einen Ast hat und somit keine Symmetrie möglich ist
- D: Nicht zutreffne, da die Exponetialfunktion streng monoton fallend ist und daher keine Wendestelle hat
- E: Nicht zutreffend, da die Exponetialfunktion durch den Punkt \(P(0\left| 1 \right.)\) verläuft
- F: Richtig, weil sich die Exponentialfunktion, aus dem Unedlichen kommend, mit wachsenden x-Werten der x-Achse asymptotisch annähert
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Funktionsgleichung 1: D
- Funktionsgleichung 2: E
- Funktionsgleichung 3: B
- Funktionsgleichung 4: F
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Funktionsgleichungen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.