Aufgabe 1251
AHS - 1_251 & Lehrstoff: FA 1.9
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionstypen
Gegeben ist die Funktion g mit der Funktionsgleichung \(g\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
g ist eine _____1______ und es gilt: ______2______ .
1 | |
lineare Funktion | A |
quadratische Funktion | B |
Exponentialfunktion | C |
2 | |
\(g\left( {x + 2} \right) = g\left( x \right) \cdot 2a\) | I |
\(g\left( {x + 2} \right) = g\left( x \right) \cdot {a^2}\) | II |
\(g\left( {x + 2} \right) = g\left( x \right) + 2a\) | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen überein stimmen
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}}; \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}}; \cr}\)
Lösungsweg
\(g\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Aussage A: Diese Aussage ist falsch, weil eine lineare Funktion wie folgt aussieht: \(g\left( x \right) = k \cdot x + d\)
- Aussage B: Diese Aussage ist falsch, weil eine quadratische Funktion wie folgt aussieht: \(g\left( x \right) = c \cdot {x^2}\)
- Aussage C: Diese Aussage ist richtig, weil dies einer Exponetialfunktion (eine Funktion bei der die Variable x im Exponent / als Hochzahl steht) entspricht
Im Wissen über die "Regel für das Multiplizieren von Potenzen an, deren Basen übereinstimmen", können wir wie folgt anschreiben:
\(\eqalign{ & g\left( x \right) = {a^x} \cr & g(x + 2) = {a^{x + 2}} = {a^x} \cdot {a^2} = g(x) \cdot {a^2} \cr} \)
- Aussage I: Diese Aussage ist falsch, weil \(g\left( x \right) \cdot 2a \ne g\left( x \right) \cdot {a^2}\)
- Aussage II: Diese Aussage ist richtig, weil \(g\left( x \right) \cdot {a^2} = g\left( x \right) \cdot {a^2}\)
- Aussage III: Diese Aussage ist falsch, weil \(g\left( x \right) + 2a \ne g\left( x \right) \cdot {a^2}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
g ist eine Exponentialfunktion und es gilt:\(g\left( {x + 2} \right) = g\left( x \right) \cdot {a^2}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil angekreuzt ist.