Aufgabe 1138
AHS - 1_138 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit eines Isotops
Der radioaktive Zerfall des Iod-Isotops \({}^{131}I\) verhält sich gemäß der Funktion N mit \(N\left( t \right) = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\) mit t in Tagen.
- Aussage 1: \(\ln \left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - 0,086 \cdot t \cdot \ln \,\,\,e\)
- Aussage 2: \(2 = {e^{ - 0,086 \cdot t}}\)
- Aussage 3: \(N\left( 0 \right) = \dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} \cdot {d^{ - 0,086 \cdot t}}\)
- Aussage 4: \(\ln \left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - \ln 0,086 \cdot t \cdot e\)
- Aussage 5: \(\dfrac{1}{2} = 1 \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie diejenige(n) Gleichung(en) an, mit der/denen die Halbwertszeit des Isotops in Tagen berechnet werden kann!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Zur Halbwertszeit hat sich die Startmenge N(0) halbiert, daher gilt (nur) für diesen Zeitpunkt die folgende Gleichung: \(\dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\)
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil
\(\eqalign{ & \dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {:N\left( 0 \right)} \right. \cr & \dfrac{1}{2} = {e^{ - 0,086 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot \ln } \right. \cr & \ln \left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - 0,086 \cdot t \cr} \)
man kann die rechte Seite der Gleichung noch mit \(\ln e = 1\) wie folgt umformen:
\(n\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - 0,086 \cdot t = - 0,086 \cdot t \cdot \ln e\) - Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil
\(\eqalign{ & \dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {:N\left( 0 \right)} \right. \cr & \dfrac{1}{2} = {e^{ - 0,086 \cdot t}} \ne 2 \cr} \) - Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil
\(\eqalign{ & \dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot 2} \right. \cr & N\left( 0 \right) = 2 \cdot N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}} \ne \dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}} \cr} \) - Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil
\(\eqalign{ & \dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {:N\left( 0 \right)} \right. \cr & \dfrac{1}{2} = {e^{ - 0,086 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot \ln } \right. \cr & \ln \left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - 0,086 \cdot t \ne - \ln 0,086 \cdot t \cdot e \cr} \) - Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil
\(\eqalign{ & \dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {:N\left( 0 \right)} \right. \cr & \dfrac{1}{2} = 1 \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Gleichungen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.