Aufgabe 11251
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften
Gegeben sind reelle Funktionen sowie die Parameter \(a \in {{\Bbb R}^ + }{\text{ und }}b \in \left( {0;1} \right)\)
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den vier angegebenen Funktionsgleichungen jeweils die zutreffende Funktionseigenschaft aus A bis F zu.
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Funktionsgleichung 1: \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\)
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Funktionsgleichung 2: \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\)
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Funktionsgleichung 3: \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
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Funktionsgleichung 4: \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
- Funktionseigenschaft A: Es gilt f(x) = f(–x) für alle x ∈ ℝ.
- Funktionseigenschaft B: Es gilt f(x) = –f(–x) für alle x ∈ ℝ.
- Funktionseigenschaft C: f ist streng monoton fallend in ℝ.
- Funktionseigenschaft D: f hat genau zwei Nullstellen.
- Funktionseigenschaft E: f ist für alle x ∈ ℝ rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt).
- Funktionseigenschaft F: f hat genau eine Nullstelle.
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
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Funktionsgleichung 1: \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\) Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion.
- A: Eine lineare Funktion kann keine gerade Funktion sein
- B: Die lineare Funktion wäre nur im Spezialfall b=0 eine ungerade Funktion. b kann aber nicht null sein, da b innerhalb des offenen Intervalls zwischen 0 und 1 befindet, also 0 ausgeschlossen ist.
- C: Die lineare Funktion ist wegen \(a \in {{\Bbb R}^ + }\) streng monoton steigend
- D: Eine lineare Funktion mit positiver Steigung kann keine zwei NST haben
- E: Eine lineare Funktion kann nicht gekrümmt sein
- F: Eine lineare Funktion mit positiver Steigung hat immer genau 1 NST, somit ist F die richtige Lösung
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Funktionsgleichung 2: \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) Dabei handelt es sich um eine nach oben offene Parabel, deren Graph die y-Achse im offenen Intervall zwischen 0 und 1 schneidet. Da die Parabelgleichung kein lineares Glied enthält, muss der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen
- Eine nach oben offene Parabel, deren Scheitel auf der y-Achse liegt ist eine gerade Funktion, somit ist A die richtige Lösung
- Die nach oben offene Parabel, deren Scheitel auf der y-Achse liegt ist eine gerade Funktion und daher eben keine ungerade Funktion
- Die nach oben offene Parabel ist zunächst streng monoton fallen, erst nach dem Scheitelpunkt ist sie streng monoton steigend
- Da sich b innerhalb des offenen Intervalls zwischen 0 und 1 befindet, kann die nach oben offene Parabel keine NST haben
- Die nach oben offene Parabel ist nach links, bzw. positiv gekrümmt
- Da sich b innerhalb des offenen Intervalls zwischen 0 und 1 befindet, kann die nach oben offene Parabel keine NST haben
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Funktionsgleichung 3: \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\) Dabei handelt es sich um eine Exponentialfunktion, die auf Grund von \(a \in {{\Bbb R}^ + }\) die y-Achse oberhalb der x-Achse schneiden muss und ausschließlich positive Funktionswerte annimmt, somit als oberhalb der x-Achse liegt. Da sich b innerhalb des offenen Intervalls zwischen 0 und 1 befindet muss es sich um eine Abnahme-Funktion handeln.
- Die Abnahmefunktion ist keine gerade Funktion
- Die Abnahmefunktion ist keine ungerade Funktion
- Die Abnahmefunktion ist streng monoton Fallen, somit ist C die richtige Lösung
- Die Abnahmefunktion hat keine NST
- Die Abnahmefunktion ist nach links, bzw. positiv gekrümmt
- Die Abnahmefunktion hat keine NST
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Funktionsgleichung 4: \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) Dabei handelt es sich um eine Sinusfunktion, deren Amplitude durch a gegeben ist und deren Periodendauer durch b gegeben ist. Da es im Argument keinen Summanden c gibt, liegt der Nulldurchgang im Ursprung des Koordinatensystems. Da es auch keinen Summanden d gibt, ist der Graph der Sinusschwingung auch nicht in Richtung der y-Achse verschoben, sondern erfolgt symmetrisch zur x-Achse
- Die reine Sinusfunktion ist keine gerade Funktion
- Die reine Sinusfunktion ist ein ungerade Funktion, somit ist B die richtige Lösung
- Die reine Sinusfunktion ist abwechselnd monoton steigend und monoton fallend.
- Die reine Sinusfunktion hat unendlich viele NST
- Die reine Sinusfunktion ist abwechselnd negativ und positiv gekrümmt
- Die reine Sinusfunktion hat unendlich viele NST
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Funktionsgleichung 1: Funktionseigenschaft F
- Funktionsgleichung 2: Funktionseigenschaft A
- Funktionsgleichung 3: Funktionseigenschaft C
- Funktionsgleichung 4: Funktionseigenschaft B
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.