Aufgabe 1774
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kurvenverlauf
Die unten links stehenden Abbildungen zeigen jeweils die Tangente t in einem Punkt \(P = \left( {{x_P}\left| {f\left( {{x_p}} \right)} \right.} \right)\) des Graphen einer Polynomfunktion f. Dabei ist P der einzige gemeinsame Punkt des Graphen von f und der Tangente t. In der unten rechts stehenden Tabelle sind Aussagen über f′(xP) und f″(xP) gegeben.
Illustration 1:
Illustration 2:
Illustration 3:
Illustration 4:
- Aussage A: \(f'\left( {{x_P}} \right) > 0{\text{ und }}f''\left( {{x_P}} \right) > 0\)
- Aussage B: \(f'\left( {{x_P}} \right) > 0{\text{ und }}f''\left( {{x_P}} \right) < 0\)
- Aussage C: \(f'\left( {{x_P}} \right) < 0{\text{ und }}f''\left( {{x_P}} \right) > 0\)
- Aussage D: \(f'\left( {{x_P}} \right) < 0{\text{ und }}f''\left( {{x_P}} \right) < 0\)
- Aussage E: \(f'\left( {{x_P}} \right) > 0{\text{ und }}f''\left( {{x_P}} \right) = 0\)
- Aussage F: \(f'\left( {{x_P}} \right) < 0{\text{ und }}f''\left( {{x_P}} \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Abbildungen jeweils die zutreffende Aussage (aus A bis F) zu.
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
In diesem Beispiel geht es um die Zusammenhänge zwischen den höheren Ableitungen der als Graph gegebenen Funktion f(x). Wir betrachten im folgenden den Verlauf der Funktion im Punkt P. Sieh dir die Regel für "grafisches Differenzieren" an, indem du auf das entsprechende Tag unter der Angabe drückst.
- Illustration 1:
- f(xP) ist streng monoton wachsend, bzw. die Tg ist steigend und ihr k ist positiv → f‘(xP) > 0
- P ist ein Wendepunkt → f‘‘(xP)=0
- → Aussage E
- Illustration 2:
- f(xP) ist streng monoton fallend, bzw. die Tg ist fallend und ihr k ist negativ → f‘(xP)<0
- f(xP) ist rechtsgekrümmt → f‘‘(xP)<0
- → Aussage D
- Illustration 3:
- f(xP) ist streng monoton wachsend, bzw. de Tg ist steigend und ihr k ist positiv → f‘(xP) > 0
- f(xP) ist rechtsgekrümmt → f‘‘(x)<0
- → Aussage B
- Illustration 4:
- f(xP) ist streng monoton fallend, bzw. die Tg ist fallend und ihr k ist negativ → f‘(xP) < 0
- P ist ein Wendepunkt → f‘‘(xP)=0
- → Aussage F
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Illustration 1: Aussage E
- Illustration 2: Aussage D
- Illustration 3: Aussage B
- Illustration 4: Aussage F
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Abbildungen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist. Bei zwei oder drei richtigen Zuordnungen ist ein halber Punkt zu geben.