Aufgabe 1433
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzen- und Differenzialquotient
Gegeben ist eine Polynomfunktion f zweiten Grades. In der nachstehenden Abbildung sind der Graph dieser Funktion im Intervall [0; x3] sowie eine Sekante s und eine Tangente t dargestellt. Die Stellen x0 und x3 sind Nullstellen, x1 ist eine lokale Extremstelle von f. Weiters ist die Tangente t im Punkt (x2 | f (x2)) parallel zur eingezeichneten Sekante s.
- Aussage 1: \(f'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_3}} \right)\)
- Aussage 2: \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0\)
- Aussage 3: \(\dfrac{{f\left( {{x_3}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_3} - {x_1}}} = f'\left( {{x_2}} \right)\)
- Aussage 4: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\)
- Aussage 5: \(\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}}{{{x_1} - {x_3}}} > 0\)
Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen sind für die in der Abbildung dargestellte Funktion f richtig? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Die Definitionen vom Differenzen- und Differenzialquotient lauten:
- Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate: \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)
- Differentialquotient oder momentane Änderungsrate oder Steigung der Tangente: \(y'\left( t \right) = \dfrac{{dy}}{{dt}} = k\)
Somit analysieren wir die Aussagen wie folgt:
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil die 1. Ableitung f'(x) der Steigung k der Tangente entspricht. Die Steigung im Punkt x0 ist positiv, während die Steigung im Punkt x3 ist hingegen negativ. Somit \(f'\left( {{x_0}} \right) \ne f'\left( {{x_3}} \right)\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil \(HP\left( {{x_1}\left| {f\left( {{x_1}} \right)} \right.} \right)\) ein Hochpunkt ist und die Tangente im den Hochpunkt die Steigung k=0 hat. Somit muss gelten \(y'\left( x \right) = k = 0\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil wir aus der Grafik entnehmen können, dass der Anstieg der Sekante (bzw. die der mittleren Änderungsrate) \(\dfrac{{f\left( {{x_3}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_3} - {x_1}}}\) auf Grund der Parallelität gleich groß ist, wie die 1. Ableitung (bzw. die Steigung der Tangente) im Punkt \(\left( {{x_2}\left| {f\left( {{x_2}} \right)} \right.} \right)\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil die 1. Ableitung gleich der Steigung ist und die Steigung an der Stelle x0 sicher positiv und nicht 0 ist
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil wir der Abbildung entnehmen können, dass die Sekante s eine negative Steigung, also k<0 hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind