Aufgabe 1334
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Funktion
Von einer reellen Polynomfunktion f sind der Graph und die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion f' gegeben: \(f'\left( x \right) = - x + 2\)
- Aussage 1: Die Stelle x1 = 0 ist eine Wendestelle von f.
- Aussage 2: Im Intervall [0; 1] ist f streng monoton fallend.
- Aussage 3: Die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt (0|f (0)) hat die Steigung 2.
- Aussage 4: Die Stelle x2 = 2 ist eine lokale Maximumstelle von f.
- Aussage 5: Der Graph der Funktion f weist im Intervall [2; 3] eine Linkskrümmung (positive Krümmung) auf.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Aus der Angabe ergibt sich folgender Zusammenhang: \(f'\left( x \right) = - x + 2 \to f''\left( x \right) = - 1\)
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil die Voraussetzung für eine Wendestelle von f(x) wäre, dass die 2. Ableitung f''(x1=0) gleich null ist. Die 2. Ableitung von f(x), also die 1. Ableitung der gegebenen Funktion f'(x), ist aber -1 und nicht null.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil die Voraussetzung für streng monotones fallen von f(x) wäre, dass f'(x) < 0. f'(x) ist im Intervall [0; 1] aber > 0, somit muss f(x) in diesem Intervall streng monoton steigen.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil die gegebene 1. Ableitung f'(x) an der Stelle x=0 den Funktionswert "2" hat. Die 1. Ableitung f'(x) entspricht aber genau der Steigung der Tangente an f(x) mit k=2 für x=0
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil die Voraussetzung für ein lokales Maximum von f(x) ist dass f'(x) = 0 und f''(x) < 0. Beide Voraussetzungen sind erfüllt. f'(x=2) kann man direkt zu null ablesen und f''(x=2) = -1
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil die Voraussetzung für eine Linkskrümmung wäre f''(x) > 0, was aber nicht der Fall ist, denn f''(x) = -1
Mit Hilfe von GeoGebra erstellen wir folgende Illustration, die den Zusammenhang zwischen den 3 Funktionen darstellt:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.