Aufgabe 1169
AHS - 1_169 & Lehrstoff: AN 1.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mittlere Änderungsrate
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = {x^2} + 2\)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [1; 3]!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Der Differenzenquotient \({k_{{\text{Sekante}}}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\) gibt die mittlere Anstiegsrate bzw. die Steigung der Sekante an.
Lösungsweg
Wir berechnen die Funktionswerte an der Stelle f(1) und an der Stelle f(3) und ermitteln dann den Differenzenquotienten wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = {1^2} + 2 = 3 \cr & f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) = f\left( 3 \right) = {3^2} + 2 = 11 \cr} \)
Wir setzen in die Formel für den Differenzenquotienten ein:
\(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)}}{{\Delta x}} = \dfrac{{11 - 3}}{{3 - 1}} = \dfrac{8}{2} = 4\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\dfrac{{\vartriangle y}}{{\vartriangle x}} = 4\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe des korrekten Wertes.