Aufgabe 1078
AHS - 1_078 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Berührung zweier Funktionsgraphen
Die Graphen zweier Funktionen f und g berühren einander im Punkt P = (x1 | y1). Für die Funktion f gilt: Die Tangente in P schließt mit der x-Achse einen Winkel von 45° ein und hat einen positiven Anstieg.
- Aussage 1: \(f\left( {{x_1}} \right) = g\left( {{x_1}} \right)\)
- Aussage 2: \(f'\left( {{x_1}} \right) = g\left( {{x_1}} \right)\)
- Aussage 3: \(f\left( {{x_1}} \right) = 1\)
- Aussage 4: \(g'\left( {{x_1}} \right) = 1\)
- Aussage 5: \(f'\left( {{x_1}} \right) = g'\left( {{x_1}} \right) = - 1\)
Aufgabenstellung:
Welche der angeführten Aussagen folgen jedenfalls aus diesen Bedingungen? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Wir fassen die Angabe zusammen:
- Gegeben sind die Graphen zweier nicht näher definierten Funktionen f und g.
- Die beiden Funktionen berühren einander im Punkt P.
- Wir kennen die Tangente in P an f → Da sich die beiden Funktionen in P berühren (und nicht etwa schneiden) muss die Tangente in P an f auch eine Tangente in P an g sein
- Wir kennen den Steigungswinkel der Tangente mit 45° → daher kennen wir auch die Steigung mit k=tan (45°)=1
Eine Illustration des Zusammenhangs könnte etwa wie folgt aussehen:
Mit obiger Zusammenfassung der Angabe können wir die 5 Aussagen auf deren Richtigkeit wie folgt prüfen:
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil im Berührpunkt wie folgt gelten muss: \(f\left( {{x_1}} \right) = g\left( {{x_1}} \right) = {y_1}\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil auf der linken Seite der Gleichung die Steigung im Berührpunkt steht und wir diese mit k=1 kennen, während auf der rechten Seite der Funktionswert \(g\left( {{x_1}} \right) = {y_1}\)steht, für den allenfalls nur zufällig (!) y1=1 gilt
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil \(f\left( {{x_1}} \right) = {y_1}\) wobei allenfalls zufällig (!) y1=1 gilt
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil wie folgt gelten muss. \(f'\left( {{x_1}} \right) = g'\left( {{x_1}} \right) = k = \tan (45^\circ ) = 1\). Bedenke: f und g haben in P wegen der Berührbedingung die gleiche Tangente
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil wie folgt gilt: \(f'\left( {{x_1}} \right) = g'\left( {{x_1}} \right) = k = \tan (45^\circ ) = 1\) , also +1 und nicht -1.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.