Aufgabe 1029
AHS - 1_029 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften von Funktionen
In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Der Punkt C ist ein Wendepunkt der Funktion f. Die Punkte A und E sind lokale Extrema.
- Aussage 1: \(f''\left( {{x_1}} \right) > 0\)
- Aussage 2: \(f'\left( {{x_2}} \right) > 0\)
- Aussage 3: \(f''\left( {{x_3}} \right) = 0\)
- Aussage 4: \(f'\left( {{x_4}} \right) < 0\)
- Aussage 5: \(f''\left( {{x_5}} \right) > 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
Wir fassen zusammen:
- \(A\left( {{x_1}\left| {f\left( {{x_1}} \right)} \right.} \right)\) ist ein Hochpunkt
- \(C\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) ist ein Wendepunkt und eine doppelte NST
- \(E\left( {{x_5}\left| {f\left( {{x_5}} \right)} \right.} \right)\) ist ein Tiefpunkt
Weiters kennen wir folgende Zusammenhänge zwischen höheren Ableitungen:
- \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0 \to f\left( {{x_0}} \right){\text{ ist streng monoton wachsend}}\)
- \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0 \to f\left( {{x_0}} \right){\text{ ist streng monoton fallend}}\)
- \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \to f\left( {{x_0}} \right){\text{ ist links / positiv / konkav gekrümmt}}\)
- \(f'''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und f'''}}\left( {{x_0}} \right) \ne 0 \to f\left( {{x_0}} \right){\text{ hat WP an der Stelle }}{{\text{x}}_0}\)
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil \(f''\left( {{x_1}} \right) > 0\) → f(x1) müßte links gekrümmt sein, ist aber rechts gekrümmt
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil \(f'\left( {{x_2}} \right) > 0\) → f(x2) müßte streng monoton wachsend sein, ist aber streng monoton fallend
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil \(f''\left( {{x_3}} \right) = 0\) eine Indikation dafür ist, dass an dieser Stelle ein WP liegt, was laut Angabe auch der Fall ist.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil \(f'\left( {{x_4}} \right) < 0\) → f(x4) müßte streng monoton fallend sein, was auch der Fall ist
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil \(f''\left( {{x_5}} \right) > 0\) → f(x5) müßte links gekrümmt sein, was auch der Fall ist
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.