Aufgabe 1028
AHS - 1_028 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\text{ mit }}a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}\). Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt A = (2|4) und berührt die x-Achse im Koordinatenursprung.
- Aussage 1: \(f\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 2: \(f\left( 4 \right) = 2\)
- Aussage 3: \(f\left( 2 \right) = 4\)
- Aussage 4: \(f'\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f'\left( 2 \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
Wir veranschaulichen uns die Zusammenhänge mit Hilfe einer Illustration wir folgt:
- Wir kennen den Punkt A = (2|4) und den Punkt NST1=NST2= (0|0).
- Wir wissen aus der Angabe, dass die Funktion die x-Achse berührt und nicht etwa schneidet → Die Tangente im Berührpunkt muss horizontal verlaufen → Es muss einen zu A um die y-Achse gespiegelten Punkt auf der Funktion geben ("gerade Funktion")
Mit Hilfe der Illustration können wir nun die 5 Aussagen wie folgt bewerten:
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil an der Stelle (0|0) eine (doppelte) NST vorliegt und daher \(f\left( 0 \right) = 0\) gelten muss
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil, wenn der Funktionswert an der Stelle x=2 bereits 4 beträgt, dann muss beim Verlauf von diesem Graph der Funktionswert an der Stelle x=4 wesentlich höher als 2 oder 4 liegen (nämlich bei 16)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil sie dem gegebenen Punkt A entspricht
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil der Graph der Funktion in der NST die x-Achse "berührt" und nicht "scheidet". Daher muss die horizontale x-Achse eine Tangente an die Funktion f(x) sein und die Steigung k=0 und somit die 1. Ableitung f'(0)=0 gelten
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil der Graph im Punkt A = (2|4) eine positive Steigung und somit ein k>0 und somit ein f'(2) > 0 haben muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.