Aufgabe 1881
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichungssystem
Von einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den zwei Variablen x und y ist die Gleichung I gegeben.
\({\text{Gl}}{\text{.1}}:2 \cdot x + y = 1\)
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems soll leer sein.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie eine passende Gleichung 2 in x und y an.
Lösungsweg
Ein sinnvoll lösbares LGS in zwei Variablen wird immer aus 2 Gleichungen bestehen, für die es folgende 3 Lösungsmöglichkeiten gibt: unendlich viele Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung.
Geometrisch entsprechen keiner Lösung, also einer leeren Lösungsmenge, 2 parallele Gerade vom Typ \(y = k \cdot x + d\). Zwei Geraden sind dann parallel, wenn sie gleiches k aber unterschiedliche d haben.
Die 1. Gerade, bzw. die Gl.1 liegt in impliziter Darstellung vor. Damit wir k und d ablesen können, wandeln wir die Gleichung in die explizite Darstellung wie folgt um:
\(\eqalign{ & 2 \cdot x + y = 1\,\,\,\,\,\left| { - 2x} \right. \cr & y = - 2 \cdot x + 1 \to k = - 2;\,\,\,\,d = 1 \cr} \)
Es gibt unendlich viele Geraden, die zur gegebenen Geraden parallel sind. Ihnen allen ist gemein, dass k=-2 ist wodurch sie die gleiche Steigung haben, und dass \(d \ne 1\) gelten muss. Bei d=1 lägen deckungsgleiche Geraden vor, deren Lösungsmenge nicht leer ist, wie gefordert.
- Allgemein explizit formuliert: \({\text{Gl}}{\text{.2: }}y = - 2x + c{\text{ mit }}c \ne 1\)
- Allgemein implizit formuliert: \({\text{Gl}}{\text{.2: }}2 \cdot x + y = c{\text{ mit }}c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({\text{Gl}}{\text{.2:}}2 \cdot x + y = c{\text{ mit }}c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\({\text{Gl}}{\text{.2: }}y = - 2x + c{\text{ mit }}c \ne 1\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Gleichung, wobei alle der richtigen Lösung entsprechenden Gleichungen (und alle dazu äquivalenten Gleichungen) richtig sind.