Aufgabe 1880
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter einer quadratischen Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung
\({x^2} + k \cdot x + 4 \cdot k = 0{\text{ mit dem Parameter }}k \in {\Bbb R} \)
Aufgabenstellung [0 / 0,5 /1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ermitteln Sie die zwei unterschiedlichen Werte k1 und k2 von k, für die die gegebene Gleichung genau eine Lösung hat.
Lösungsweg
Der Koeffizient a vor dem quadratischen Glied ist 1. Es liegt daher die Normalform der quadratischen Gleichung vor. Für die rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq Formel gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0 \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr} \)
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle.
- D > 0 → 2 Lösungen in \({\Bbb R}\)
- D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in \({\Bbb R}\)
- D < 0 → keine Lösung in \({\Bbb R}\) , aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in \({\Bbb C}\)
Damit die gegebene quadratische Gleichung genau eine Lösung hat, muss die Diskriminante zu Null werden.
Der Angabe entnehmen wir:
\(p = k\,\,\,\,\,q = 4 \cdot k\)
Wir setzen in die Gleichung für die Diskriminante ein und heben k heraus:
\(\eqalign{ & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q = 0 \cr & \cr & {\left( {\dfrac{k}{2}} \right)^2} - 4 \cdot k = 0 \cr & \frac{{{k^2}}}{4} - 4 \cdot k = 0\,\,\,\,\left| { \cdot 4} \right. \cr & {k^2} - 16 \cdot k = 0 \cr & k \cdot \left( {k - 16} \right) = 0 \cr} \)
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann null ist, wenn zumindest einer der beiden Faktoren null ist. Man sieht sofort, dass es folgende 2 Lösungen für k gibt:
\({k_1} = 0\,\,\,\,\,{k_2} = 16\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({k_1} = 0\,\,\,\,\,{k_2} = 16\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.